13. Огибающие семейства кривых и особые решения.

Мы имели два примера, в которых, кроме общего интеграла, были полу и особые решения. В примере из [10] общий интеграл представлял собою семейство окружностей

слентрамя на оси ОХ и фиксированным радиусом о. Особыми решениями являлись прямые параллельные оси ОХ. Прямые в каждой своей точке касаются одной из окружностей семей ства (77) (рис. 8). В примере из [11] общий интеграл представлял собою семейство прямых, длина отрезка которых между координатными осями равна заданной величине а, а особое решение представляет собою астроиду, касающуюся во всех своих точках одной из указанных прямых, т. е. упомянутое семейство прямых являлось семейством касательных для этой астроиды.

Эти примеры естественно приводят нас к понятию огибающей данного семейства линий. Пусть дано семейство линий

где С — произвольная постоянная. Огибающей этого семейства называется линия, которая во всех своих точках касается различных линий семейства, т. е. имеет в каждой своей точке касательную, общую с линией семейства (78), проходящей через же точку.

Выясним правило нахождения этой огибающей. Прежде всего определим угловой коэффициент касательной к линии семейства (78). Дифференцируя равенство (78) и принимая во внимание, что у есть функция от постоянная, получим

откуда

Положим, что искомое уравнение огибающей будет

Мы можем считать, что неизвестная нам пока левая часть этого уравнения, т. е. R (х, у), имеет вид , где только С не постояна какая-то неизвестная пока функция от х и у. Действительно, любой функции мы можем написать равенство

которое и определит нам С как функцию от х и у. Итак, мы можем искать уравнение огибающей также в виде (78), считая только С не постоянной, а искомой функцией от х и у.

Беря дифференциал от обеих частей уравнения (78), мы получим, принимая во внимание, что С уже не постоянная:

У искомой огибающей угловой коэффициент касательной должен быть по условию таким же, что и у кривой семейства (78), проходящей через ту же точку, т. е. равенство (81) должно дать для прежнее выражение (79), а это будет иметь место лишь в том случае, когда третье слагаемое в левой части формулы (81) будет равно нулю, т. е. . Возможность дает постоянную С, т. е. дает опять кривую семейства, а не огибающую, и следовательно, чтобы получить огибающую, мы должны положить

Это уравнение и определит нам С как функцию от Подставляя это выражение С через х и у в левую часть равенства (78), получим искомое уравнение огибающей (80), т. е. уравнение огибающей семейства (78) может быть получено исключением С из двух уравнений:

Когда мы двигаемся по огибающей, то мы касаемся различных линий семейства (78), каждая из которых определяется своим значением постоянной С, таким образом, становится наглядно понятным тот факт, что мы искали уравнение огибающей также в виде (78), считая только С переменным.

Вернемся теперь к особым решениям дифференциального уравнения. Положим, что (78) есть семейство общего интеграла дифференциального уравнения

т. е. что на любой линия семейства (78) координаты и угловой коэффициент касательной удовлетворяют уравнению (83). В каждой точке огибающей будут совпадать с таковыми же величинами некоторой кривой семейства у огибающей будут также удовлетворять (83). Итак, огибающая семейства общего интеграла есть также интегральная кривая уравнения.

Таким образом, если есть общий интеграл урав» нения (83 то исключение С из уравнений (82) приводит нас в некоторых случаях к особому решению.

Мы оговорились здесь, добавив «в некоторых случаях» (а не всегда), из следующих соображений. В предыдущих рассуждениях предполагалось, что линии (78) имеют касательную, поэтому, если мы исключим С из уравнений (82), то можем получить не только огибающую, а также и совокупность всех особых точек кривых семейства т. е. геометрическое место тех точек кривых (78), в которых эти кривые» не имеют определенной касательной [I, 76]. Кроме того, иногда случается, что сама огибающая входит в состав семейства линий (78). Мы не останавливаемся на строгом изложении теории огибающей и особых решений. Такая теория должна быть тесно связана с теоремой существования и единственности, о которой мы упоминали в [2], и ограничимся выяснением вопроса на некоторых примерах.

Рис. 10.

1. Будем искать огибающую семейства окружностей (62)

Уравнения (82) имеют в данном случае вид

Второе уравнение дает и, подставляя его в первое уравнение, получаем , т. е. совокупность двух прямых что мы имели и раньше.

2. Общий интеграл уравнения Клеро будет

Огибающая получится исключением С из двух уравнений

Эти уравнения совпадают с уравнениями из [11] с несущественной заменой буквы на букву С, т. е. мы получив прежнее правило нахождения особого решения уравнения Клеро.

3. Кривая представляет собою так называемую полукубическую параболу (рис. 10). Двигая ее параллельно оси получим семейство таких полукубических парабол:

Каждая из этих кривых имеет острие на оси О К, и в этом острие имеется с правой стороны касательная, параллельная оси ОХ Уравнения (82) денном случае имеют вид

Исключая С, получаем т. е. ось ОY. В данном случае эта ось ОН не является огибающей семейства, а геометрическим местом особых точек кривых семейства.

4. Рассмотрим семейство кривых

При это есть парабола, а при С = 0 — ось ОХ. Уравнение (82) имеют вид

Второе уравнение дает или Подставляя в первое уравнение, получим или Первая линия есть ось , которая содержится в самом семействе кривых, а кубическая парабола есть огибающая семейства,