73. Формула Стокса.

Рассмотрим теперь случай любой незамкнутой поверхности (5) с контуром I (рис. 61). Предполагаем, что прямые, параллельные оси пересекают (5) только в одной точке, и сохраняем все обозначения из [65]. Проекция I на плоскость XOY дает контур (X) области . За положительный обход контура принимаем обход против часовой стрелки и соответственно считаем положительный обход по . Направление нормали к (S) берем так, чтобы оно составляло острый угол с осью OZ, так что . При этом в формулах (24) [65] на брать нижний знак, и эти формулы дают

а формулу (26) из [65] можно переписать так:

Пусть какая-либо функция, заданная вблизи поверхности (S) и непрерывная со своими производными первого порядка.

Рис. 61.

рассмотрим интеграл

Линия лежит на (S) и, пользуясь уравнением этой поверхности: мы можем заменить под знаком интеграла z на f(x, у). При этом подынтегральная функция будет содержать только . Координаты переменной точки (X) такие же, что и в соответствующих точках на а потому интегрирование по можно заменить интегрированием по (X):

Применим к интегралу, стоящему направо, формулу Грина (18), причем в данном случае есть (X). При вычислении надо будет дифференцировать Р как непосредственно по у, так и через посредстйо третьего аргумента , который заменен на

причем в выражении Р под буквой z надо подразумевать Формула (18) дает

Выражая через элемент поверхности (S), согласно (20), Приведем двойной интеграл к интегралу по поверхности (5) [66]:

в, наконец, пользуясь второй из формул (19), получим окончательно

Если — две другие функции, заданные вблизи (S), то, совершая круговую перестановку координат ,

получим две аналогичные формулы

Складывая три полученные формулы, придем к формуле Стокса

Формула эта связывает криволинейный интеграл по контуру поверхности с интегралом по самой поверхности, и в этом отношении она аналогична формуле Остроградского [66], которая связывала интеграл по поверхности трехмерной области с интегралом по самой области. Формула Грина есть тот частный случай формулы Стокса, когда (S) есть плоская область на плоскости XOY. При этом есть замкнутая кривая на плоскости XOY и dz = 0, а направление совпадает с осью OZ, так что . Подставляя все это в (22), получим формулу (18).

По поводу косинусов, входящих в формулу (22), делаются те же предположения, что и при выводе формулы Остроградского [66].

Формула (21) выведена нами в предположении, что прямые, параллельные оси OZ пересекают (S) только в одной точке. Если это не так, то разбиваем (S) на части вспомогательными линиями так, чтобы каждая часть удовлетворяла указанному выше условию, так что к каждой части формула (21) применима. Складывая полученные таким образом для всех частей формулы, будем иметь слева интеграл по контуру так как интегралы по вспомогательным контурам будут браться два раза в противоположных направлениях и сократятся. Справа получим двойной интеграл по всей поверхности (S) т. е. формула (21) окажется справедливой в общем случае. То же самое замечание справедливо и для общей формулы (22). При этом только нужно соблюдать следующее условие для обхода и направления нормали наблюдатель, обходящий и направленный по нормали должен иметь поверхность (S) слева. Это правило связано с выбором координатной системы, указанной на рис. 61. В этой системе наблюдатель, направленный по OZ, видит ОХ переходящей в OY при вращении на угол у против часовой стрелки.

Если бы это вращение было по часовой стрелке, то в предыдущем правиле слово «слева» надо было бы заменить словом «справа».

Если воспользоваться обозначением интеграла по поверхности, указанным в [67], то формулу (22) можно переписать в виде:

Определение стороны поверхности (S) и направления производится по вышеуказанному правилу.