43. Системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами.

Во многих случаях положение механической системы определяется не одной, а несколькими независимыми величинами которые называются координатными параметрами. Их число k дает число степеней свободы. Так, например, при вращении твердого тела вокруг неподвижной оси мы имеем одну степень свободы — угол в поворота тела вокруг оси. Вращение же тела вокруг неподвижной точки дает три степени свободы, и за координатные параметры можно, например, принять известные из кинематики твердого тела углы Эйлера: и Q Движение точки по плоскости или сфере, или какой-либо иной поверхности представляет собой движение с двумя степенями свободы, В случае плоскости координатными параметрами могут служить обычные прямоугольные координаты х и у, а на сфере — долгота и широта

При движении механической системы ее координатные параметры являются функциями от времени t и определяются из системы дифференциальных уравнений и начальных условий. В частности» при рассмотрении малых колебаний системы около положения равновесия, которому соответствует значение параметров

обычно удерживают в дифференциальных уравнениях лишь члены первого измерения относительно и и таким образом получают систему линейных уравнений с постоянными коэффициентами. Каждое из уравнений будет, вообще говоря, содержать все функции и их производные по t первого и второго порядка.

В случае двух степеней свободы система будет иметь вид

где произвольные от по t.

Обозначая, как и выше, символическим множителем D операцию дифференцирования по U можем переписать систему (152) так:

Если на систему действуют внешние силы, то в правой части уравнений будут не нули, а известные функции t.

Начальные условия имеют вид

где — заданные числа, и общий интеграл системы (153) должен содержать четыре произвольные постоянные.

Покажем, каким образом интегрирование системы (153) приводится к интегрированию одного линейного уравнения четвертого порядка с одной неизвестной функцией Для этого введем вспомогательную функцию V от полагая [21]

Подставляя эти выражения в уравнения увидим, что первое уравнение будет удовлетворено при любом выборе К и остается выбрать функцию V так, чтобы было удовлетворено и второе из уравений (153).

Подставляя выражения (154) в это второе уравнение, получим для V уравнение четвертого порядка

Найдя V, получим из (154) простым дифференцированием.

Пусть не кратные корни характеристического уравнения

так что

Подставляя это выражение в формулы (154) и принимая во внимание, что получим общее выражение для Оно будет представлять собою также линейную комбинацию четырех решений, каждое из которых будет содержать произвольный постоянный множитель. Так, например, решение даст

Если уравнение (156) имеет комплексные корни, что обычно и встречается в приложениях, то решение уравнений (155) полезно писать в тригонометрической форме, так что паре сопряженных корней будут соответствовать решения для V:

Точно так же, если уравнение (156) имеет двукратный корень решения будут

Отметим теперь тот случай, когда предыдущие вычисления не дадут для и общего решения, содержащего четыре произвольные постоянные. Положим, что для некоторого корня уравнение (156) будет

В этом случае формулы (158) дадут для тождественно нуль, и общее решение системы не будет содержать произвольной постоянной Мы можем попытаться восстановить эту потерянную произвольную постоянную тем путем, что для введения вспомогательной функции V воспользуемся вместо уравнений (154) уравнениями

При этом второе из уравнений (153) будет удовлетворено при всяком выборе V, и, подставляя выражения (160) в первое из уравнений (153), получим для V то же уравнение (155), что и выше. При этом корень характеристического уравнения (156) даст для и q вместо (158) выражения

Если хоть один из множителей будет отличен от нуля, то мы восстановим, таким образом, решение, соответствующее корню уравнения (156).

Остается еще рассмотреть тот случай, когда, кроме соотношений (159), имеют место соотношения

При этом нам не удается указанным путем восстановить решение, соответствующее корню уравнения (156), Но раз выполнены соотношения (159) и (161), то каждый из квадратных трехчленов, стоящих в левой части уравнения (156), будет иметь корень т. е. будет содержать множитель . Следовательно, при выполнении соотношений (159) и (161) корень должен быть кратным корнем уравнения (156). Ограничимся рассмотрением того случая, когда будет двукратным корнем, и укажем два решения системы, соответствующие этому двукратному корню. Эти два решения будут

и

Действительно, подставляя, например, выражения (162) в левую часть уравнений (153), получим, в силу соотношений (159) и (161), тождества.

Указанные два решения будут различны, так как в первом есть тождественно нуль, а во втором отлично от нуля

Заметим, что если в случае кратного корня не выполняется, например, одно из соотношений (159), то, подставляя в формулы (154):

мы получим решение (158) и решение, содержащее t множителем

где и — определенные постоянные.

Общий интеграл неоднородной системы

как и в случае одного уравнения, представляет собою сумму общего интеграла соответствующей однородной системы (153) и какого-либо частного решения неоднородной системы. Если свободные члены имеют вид

то и частные решения можно искать в виде

если только не является корнем уравнения (156). Подставляя эти выражения в левые части уравнений (164) и приравнивая коэффициенты при получим уравнения для определения

Частные решения системы (164) можно получить при любых так же, как мы это делали в случае одного уравнения [40]. Решая систему (164) относительно получим, например, для

где через мы обозначили для краткости символический полином, стоящий в левой части уравнения (155). Разлагая рациональные дроби и пользуясь указанным в [38] значением символического множителя мы и получим искомое решение системы (164).

Заметим еще, что, пользуясь рассуждениями на [21], мы можем легко приводить интегрирование системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами к интегрированию одного линейного уравнения

с постоянными коэффициентами, В томе III мы дадим общий прием интегрирования систем уравнений с постоянными коэффициентами.