56. Примеры.

1. Возьмем пример из [9] и заменим дифференциальное уравнение системой

Уравнение семейства траекторий имеет вид

Система (72) имеет четыре точки покоя формулой Тейлора, разлагаем правые части уравнений (72) по степеням , где координаты особых точек, и составляем квадратное уравнение для . Для точек и его корни вещественные и различных знаков, а для точек корни чисто мнимые. Таким образом, особые точки М, и типа седла, или фокусы или центры. При уравнение дает прямую и окружность на пересечении которых лежат и Никакие другие траектории через эти точки проходить не могут, так что можно утверждать, что существует четыре типа траекторий: 1) траектории вне окружности L и справа от симметричные с ними относительно оси траектории внутри L и справа от симметричные с ними относительно Указанная симметрия непосредственно следует из того, что левая часть уравнения (73) не меняется при замене на Из (73) следует, что траектории, лежащие вне L, имеют ось асимптотой. Для исследования траекторий, лежащих внутри L, разложим левую часть (73)

по степеням :

Из этого равенства следует, что траектории, лежащие внутри L, кроме части оси , суть замкнутые кривые, внутри которых лежат точки покоя центры. Нетрудно показать, что вообще семейство алгебраических кривых не может иметь предельных циклов. Картина траекторий системы (72) изображена на рис. 25. Полагая во втором из уравнений , получим

откуда 0 при и при определяет направление движения по оси при возрастании t. Легко получить это направление и на других траекториях (рис. 25).

Рис. 25.

Введем полярные координаты и угол и определим производную по t вдоль траекторий. Пользуясь уравнениями (72), получим

откуда

и

Из этой формулы видно, что для траекторий, лежащих вне l, интервал изменения t конечен. Действительно, при беспредельном удалении вдоль этих траекторий наверх или вниз левая часть равенства (74) стремится к единице, откуда и следует, что t стремится при этом к конечным пределам,

2. Рассмотрим систему

Нетрудно показать, что она имеет единственную точку покоя — фокус (0, 0). Используя уравнения (75), получим

Из этого равенства следует, что окружность

является замкнутой траекторией, ибо производная от левой части силу (76) равна нулю [91]. Из (76) следует, что на любой траектории, находящейся внутри убывает при возрастании t, а на траекториях вне L — возрастает. Отсюда следует, что никаких замкнутых траекторий, кроме L, нет ( - предельный цикл) и что траектории закручиваются вокруг L при как изнутри, так и извне. Внутренние траектории закручиваются вокруг явныевыражения для через t. Уравнение (76) есть уравнение первого порядка для , причем переменные в нем разделяются, и, интегрируя, получим

При получаются внутренние траектории при внешние а при окружность (77). Для полярного угла получаем вдоль траекторий

и, в силу (75),

и, пользуясь (78), получаем

Из (78) и (79) непосредственно следует сказанное выше о внутренних траекториях. Для внешних траекторий промежуток существования определяется неравенством

При траектории закручиваются вокруг а при траектории беспредельно удаляются, закручиваясь против часовой стрелки При непосредственно получаем: На рис. 26 представлен характер расположения траекторий с указанием движения по ним при возрастании t.

3. Рассмотрим аналогичный по характеру, но более сложный пример

Приравнивая правые части нулю, получаем три точки покоя:

Поступая, как в примере 1, нетрудно показать, что фокус, узел и седло. Вместо (76) имеем уравнение

из которого следуют, как и в примере 2, два решения системы

Решение (832) разбивается точками покоя на две траектории.

Кроме того, из (82) следует, что возрастает при возрастании t внутри окружности а так же вне окружности (832) и убывает между двумя этими окружностями и, следовательно, у системы (81) нет замкнутых траекторий кроме окружности

Рис. 26.

Траектории, находящиеся внутри окружности закручиваются вокруг фокуса при и вокруг окружности (предельный цикл) при Все траектории, находящиеся вне окружности (83 а), кроме одной, стремятся к узлу при и одна — к седлу также при Внутри кругового кольца между окружностями (83,) и (832) траектории идут от точек (из этой точки — только одна) и затем закручиваются вокруг предельного цикла при Выше мы отметили, что окружность (83 в) разбивается точками на две траектории Касательная к окружности (833) в точке является касательной к а остальные траектории имеют другую общую касательную в этой точке Аналогичным образом, в седле две траектории, отличные от и имеют в общую касательную, отличную от касательной к окружности. Интегрируя уравнение (82), получим

и при т. е. для траекторий, находящихся вне окружности (83), постоянная С должна быть положительной, Левая часть (84) стремится к единице при и для указанных траекторий промежуток изменения t имеет вид и в примере 2, определим производную от угла по

откуда видно, что при при . В промежутке производная меняет знак при изменении . Исследуем поведение траекторий при удалении на бесконечность. Из (82) следует, что вне окружности (833) вдоль всех траекторий монотонно возрастает и стремится к

Преобразуем уравнение (82) к новой переменной которая стремится к нулю

Заменяя в уравнении (85) на и деля полученное уравнение почленно на уравнение (86), придем к уравнению

Для этого уравнения и любое не является особой точкой, и, в силу теоремы существования и единственности для этого уравнения на плоскости легко видеть, что для каждой из траекторий системы (81) при удалении ее на бесконечность стремится к определенному пределу, и эти пределы различны для различных траекторий.

Рис. 27.

Рис. 28.

На рис. 27 представлен характер расположения траекторий на плоскости с указанием движения по ним при возрастании t.

Примеры 2 и 3 взяты из известной работы Пуанкаре «О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями».

4. Рассмотрим еще один пример общего характера

где - непрерывная и непрерывно дифференцируемая функция в промежутке . Начало (0, 0) есть точка покоя системы (87). Других точек покоя нет. Это нетрудно показать так же, как и в примере 2. Переходя к полярным координатам, получим систему уравнений

Если имеет корень то система (88) имеет очевидное решение окружность с центром в начале. Если при этом - изолированный корень , т. е. при всех достаточно близких к и отличных от , то окружность предельный цикл. Если не равна нулю при , то окружности суть замкнутые траектории системы, а траектории, находящиеся в кольце между ними, суть спиралеобразные кривые, которые закручиваются вокруг этих траекторий, при . Если при , то эти кривые закручиваются вокруг окружности при а если то вокруг при . Если при и отлична от нуля при и близких к

а также при и близких к , то все окружности при — суть замкнутые траектории, и вокруг окружности закручиваются с одной стороны траектории; аналогично для Возможны, естественно, и более сложные случаи распределения корней функции

Рассмотрим систему

Она имеет единственную точку покоя (0, 0), которая является фокусом. В полярных координатах система имеет вид

Единственной замкнутой траекторией является окружность (77), которая является предельным циклом. Величина возрастает как внутри, так и вне этой окружности, и поэтому траектории наматываются на нее изнутри при а извне при . Причиною этого является тот факт, что уравнения (89) содержат квадрат выражения Внутренние траектории наматываются на фокус при . Так же, как и в примере 3, легко показать, что внешние траектории при имеют предельные значения для различные для различных траекторий. На рис. 28 изображена схема расположения траекторий с указанием направления на них при возрастании