ГЛАВА III. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА

§ 6. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

57. Объемы.

До сих пор мы рассматривали определенный интеграл

как предел суммы для того случая, когда функция определена на отрезке оси ОХ. Иначе говоря, областью интегрирования являлся всегда некоторый прямолинейный отрезок.

В настоящем параграфе мы обобщим понятие об интеграле на тот случай, когда областью интегрирования является некоторая область на плоскости, или некоторая область в пространстве, или, наконец» область на какой-либо поверхности. При изложении настоящего параграфа мы будем пользоваться интуитивным представлением площади и объема и не будем останавливаться на обосновании некоторых рассуждений, связанных с переходом к пределу. Основные моменты строгого изложения читатель может найти в последнем параграфе настоящей главы. Мы начнем с понятия о двойном интеграле, которое связано с вопросом о вычислении объема, так же как написанный выше интеграл связан с вычислением площади, а потому, прежде чем вводить понятие о двойном интеграле, мы займемся вопросом о вычислении объемов.

Мы знаем, что вопрос о вычислении площади, ограниченной кривой осью ОХ и двумя ординатами: решается с помощью понятия об определенном интеграле, а именно указанная площадь выражается написанным выше определенным интегралом [I, 87].

Займемся аналогичной задачей для объема v тела, ограниченного данной поверхностью уравнение которой

плоскостью XOY и цилиндром (С) с образующими, параллельными оси OZ. Пусть проекция (S) на плоскость XOY (рис. 29).

Рис. 29.

В [I, 104] мы привели вычисление объема тела также к определенному интегралу, для чего нужно только знать площади параллельных сечений тела; этот способ мы применим и в нашей задаче.

Допустим для простоты, что поверхность (5) целиком находится над плоскостью XOY и что контур ограничивающий , пересекается лишь в двух точках прямыми, параллельными координатным осям.

Будем рассекать рассматриваемое тело плоскостями, параллельными плоскости YOZ, следы которых на плоскости XOY суть прямые, параллельные оси ОY (рис. 29 и 30). Абсциссы крайних сечений обозначим через а и b.

Рис. 30.

Это будут, вместе с тем, абсциссы точек контура, разделяющих этот контур на две части (1) и (2), одна из которых является местом входа в область прямых, параллельных оси OY, а другая — местом выхода (рис. 30). Каждая из этих частей имеет свое уравнение

Площадь сечения тела с плоскостью PQ, проведенной на расстоянии от YOZ, зависит от обозначим ее через Мы имеем

Остается найти выражение для функции . Это есть площадь фигуры она лежит в плоскости PQ и ограничена кривой пересечения плоскости PQ с поверхностью (S), прямой параллельной оси OY, и двумя ординатами и .

Так как для всех точек рассматриваемого сечения постоянно, ординату кривой можно считать функцией от у, определяемой уравнением

при постоянном независимая переменная у будет при этом меняться в промежутке , где суть ординаты точек входа прямой в область (а) и выхода из этой области.

В силу [I, 87], можем писать

подставив в (3), имеем

Мы получаем, таким образом, выражение объема в виде повторного интеграла, в котором интегрирование сперва выполняется по у при постоянном х, а затем полученный результат интегрируется по х.

Рассекая данное тело плоскостями, параллельными плоскости XOZ, мы получим для того же объема выражение

причем суть известные функции от у:

а означают крайние значения у на контуре (рис. 29 и 30).

Рис. 31.

Формулы (4) и (5) были выведены при двух предположениях: 1) поверхность (S) лежит целиком над плоскостью XOY и 2) контур ограничивающий проекцию поверхности (S) на плоскость XOY, пересекается лишь в двух точках со всякой прямой, параллельной одной из координатных осей. Если не выполнено условие 1, то правые части формул (4) и (5) дадут не объем, а алгебраическую сумму объемов, причем со знаком получатся те объемы, которые лежат над плоскостью XOY, со знаком те, которые лежат иод ней. Если же не выполнено условие 2, например (рис. 31) имеется

несколько пар точек пересечения контура с прямой то надо разбить область (а) на части, каждая из которых удовлетворяет условию 2. В соответствии с этим поверхность (S) и объем v разобьются на части, и для вычисления объема каждой из этих частей будет годиться формула (4).

Примеры, 1. Объем усеченной прямоугольной призмы (рис. 32). Основание образовано осями OX, OY и прямыми Секущая плоскость имеет уравнение

Формула (4) в данном случае дает

где — есть площадь основания, h — ордината точки пересечения диагоналей верхнего сечения соответствующая значениям

Рис. 32.

2. Объем эллипсоида

При пересечении эллипсоида плоскостями получаются эллипсы с полуосями

и с площадью

объем будет