216. Стержень, ограниченный с обоих концов.
Мы исследуем один из наиболее типичных случаев, когда на конце х = 0 поддерживается температура 
на конце 
тепло излучается в окружающую среду с температурой нуль:
начальная температура:
Задача эта решается весьма просто по способу Фурье.
Так как здесь имеются предельные условия, то мы подчиним найденное выше решение
условиям (30) и (31), что дает нам
откуда имеем, отбрасывая постоянный множитель В,
и
Полагая 
получаем трансцендентное уравнение
Это уравнение имеет бесчисленное множество вещественных корней [37], из которых мы обратим внимание только на положительные:
Этим корням соответствует бесчисленное множество значений
а им, в свою очередь, — бесчисленное множество частных решений уравнения (S)
удовлетворяющих предельным условиям.
Для того чтобы удовлетворить начальным условиям, ищем и в виде
и при 
получаем
где мы обозначили 
. Докажем, что функции 
ортогональны.
Напишем для двух из них соответствующие дифференциальные уравнения (8)
Умножая первое почленно на 
второе на 
вычитаем почленно полученные уравнения и интегрируем по промежутку 
:
Интегрируя в первом интеграле по частям, получим
Но 
удовлетворяют предельным условиям (30) и (31), т. е.
В силу этих равенств внеинтегральный член формулы (41) обращается в нуль, и, принимая во внимание, что 
при различных 
, мы получаем
Установив ортогональность, мы обычным приемом убеждаемся в том, что в разложении (40) коэффициенты 
должны определяться формулой
Это решает задачу разложения функции 
по функциям 
и вместе с тем дает решение поставленной выше задачи в виде ряда (39). В томе IV мы покажем, что система функций 
которые получаются, как выше, в результате применения метода Фурье к основным задачам математической физики, есть замкнутая система, и что при некоторых предположениях относительно 
эта функция разлагается в основном промежутке в равномерно сходящийся ряд по функциям 
. Отметим, что если бы вместо предельных условий (30) и (31) мы взяли предельные условия 
при 
и при 
то получили бы 
и пришли к обычному ряду Фурье по синусам.
При исследовании распространения тепла в кольце мы, вместо предельных условий, должны поставить условие периодичности температуры. Считая радиус кольца равным единице, так что длина всего кольца есть 
и обозначая через 
длину кольца, отсчитываемую от некоторой точки, мы приходим к решению вида
где
- ряд Фурье начального распределения температуры 
в кольце.
Достаточные условия для того, чтобы полученный здесь для и 
ряд действительно решал рассматриваемую задачу, будут даны в томе IV.
