121. Векторное поле; расходимость и вихрь.

Обратимся теперь к рассмотрению векторного поля . В каждой точке той части пространства, где поле задано, А (М) есть определенный вектор. Например, при течении жидкости в каждый заданный момент времени мы имеем векторное поле скоростей v (М).

Векторной линией, поля называется такая кривая (L), в каждой точке которой касательная имеет направление вектора А (М) (рис. 90). Совершенно так же, как и в [23], нетрудно видеть, что дифференциальные уравнения векторных линий поля можно написать в виде

где составляющие суть определенные функции . В силу теоремы существования и единственности через каждую точку при соблюдении условий этой теоремы, будет проходить одна определенная векторная линия. Если провести все векторные линии, проходящие через точки некоторого куска поверхности (S), то их совокупность даст векторную трубку (рис. 90).

Выделим в векторном поле некоторый объем (v), и пусть (S) есть поверхность, ограничивающая этот объем, а направление нормали к (S), внешней по отношению к объему Применим формулу Остроградского [66] к. функциям считая, что эти функции непрерывны и имеют непрерывные частные производные первого

Рис. 90.

порядка в области вплоть до ее границы:

или

Интеграл по поверхности, стоящей в правой части равенства, называется потоком поля через поверхность. Физический смысл его будет выяснен в дальнейшем» Подынтегральная функция в объемном интеграле называется расходимостью (дивергенцией) векторного поля и обозначается символом :

Таким образом формулу Остроградского можно записать так:

т. е. объемный интеграл от расходимости равен потоку поля через поверхность этого объема. Определение расходимости (36) связано с выбором координатных осей X, Y, Z, но, пользуясь формулой (37), нетрудно дать другое определение расходимости, не связанное с выбором координатных осей. Окружим точку М небольшим объемом и пусть есть поверхность этого объема. Применяя формулу (37) и пользуясь теоремой о среднем (64], можем написать

где значение берется в некоторой точке объема есть величина этого объема. При беспредельном сжимании объема к точке М, точка будет стремиться к точке и предыдущая формула в пределе даст величину расходимости в самой точке

т. е. расходимость поля в точке М есть предел отношения потока поля через малую замкнутую поверхность, окружающую точку М, к объему, ограниченному этой поверхностью.

Предыдущие рассуждения показывают, что всякое векторное поле А дает некоторое скалярное поле , а именно поле своей расходимости Мы покажем сейчас, что, пользуясь формулой Стокса, мы естественно придем кроме того и к некоторому векторному полю, порождаемому исходным полем А. Принимая

напишем формулу Стокса, считая, что функции непрерывны и имеют непрерывные частные производные первого порядка в некоторой области, внутри которой находится поверхность (5):

Пусть направленный элемент дуги кривой , т. е. элемент дуги этой кривой, рассматриваемый как малый вектор. Его составляющие на оси будут и выражение, стоящее под знаком криволинейного интеграла, представляет собою скалярное произведение , т. е. равно где — проекция А на касательную к

Введем вектор с составляющими в любой системе

Можно показать, что это псевдовектор Он образует векторное поле, которое называется вихрем поля А, и его обозначают символом или

Формулу (39) при этом можно переписать так:

или

где — составляющая по нормали к поверхности (S), Криволинейный интеграл, стоящий в левой части, называется обычно циркуляцией вектора А вдоль контура и формулу Стокса можно формулировать так: циркуляция поля вдоль контура некоторой поверхности равна интегралу по самой поверхности от нормальной составляющей вихря, т. е. равна потоку вихря через поверхность. Формула (41) дает возможность дать определение вихря, не связанное с выбором координатных осей. Пусть ( есть некоторое направление, проходящее через точку и ) — малая плоская площадка, проходящая через эту же точку нормально к . Примени» к формулу (41) и воспользуемся теоремой о среднем (направление на границе ) связано с ориентировкой осей):

где есть контур некоторая точка этой площадки. Беспредельно сжимая площадку к точке М и переходя к пределу, получим, как и в случае расходимости, значение составляющей вихря на любое заданное направление в точке М:

В дальнейшем мм будем иметь многочисленные примеры приме пения понятий вихря и расходимости и выясним физический смысл этих понятий»