179. Ограниченная струна.

Пусть имеется конечная струна, закрепленная на концах, и пусть абсциссы концов струны будут .

Кроме начальных условий (8)

где заданы при нужно удовлетворить еще предельным условиям

Решение Даламбера (12)

конечно, годится в этом случае, но определение функций формулам (16)

встречает здесь то затруднение, что функции а следовательно и определены лишь в промежутке согласно физическому смыслу задачи, а аргументы в формуле (12) могут лежать и вне этого промежутка.

Стало быть, для возможности применения способа характеристик нужно продолжить функции или, что вполне эквивалентно, функции вне промежутка . С точки зрения физической это продолжение сводится к определению такого начального возмущения бесконечной струны, чтобы движение ее участка было то же, как если бы он был закреплен в концах, а оставшаяся часть струны была бы отброшена.

Подставляя в правую часть и приравнивая результат нулю, выразим предельные условия в виде

или, обозначив переменный аргумент просто через х,

Когда изменяется в промежутке , аргумент изменяется в этом же промежутке, и правые части равенств (28) нам известны. Но при этом аргументы изменяются соответственно в промежутках и второе из уравнений (28) дает нам значения в промежутке а первое дает в промежутке . Далее, при изменении в промежутке аргумент изменяется в промежутке и правые части равенств (28) нам известны на основании предыдущего вычисления.

При этом аргументы изменяются в промежутках так что формулы (28) дают нам в промежутке в промежутке Продолжая так и дальше, мы убедимся в том, что формулы (28) дают нам определенные значения для функции при при что нам и надо для применения формулы (12) при Совершенно так же, если менять в промежутке то левые части формул (28) известны, и мы получаем в промежутке в промежутке Меняя затем в промежутке получим в промежутке в промежутке и т. д., т. е. формулы (28) дают нам определенные значения при всех вещественных

Если мы заменим во втором из уравнений на и воспользуемся первым уравнением, то получим

т. е. оказывается, что функция имеет период . После этого первое из уравнений (28) покажет нам, что и функция имеет период 21. Из этого вытекает, что для фактического знания при всех вещественных нам достаточно провести только первую из описанных выше операций продолжения этих функций, т. е. достаточно изменять только в промежутке . Формулы (28) дадут нам в промежутке в промежутке будет известно в промежутке в промежутке (0, 21). Остальные значения этих функций получаются из их периодичности.

Определив таким путем функции нетрудно продолжить и функции так как, в силу уравнений (26), мы имеем

т. е.

Заменяя в первом из уравнений на , а также дифференцируя, получим

Пользуясь этими соотношениями и первыми из уравнений (28), можем написать

т. е. для получаем чрезвычайно простой закон продолжения: они продолжаются из промежутка ) в промежуток по закону нечетности, а затем с периодом Если при этом мы получим на всей оси функции такие, что имеет непрерывные производные а - непрерывную производную то, согласно формуле (17), мы будем иметь дважды непрерывно дифференцируемое решение нашей задачи.

Обращаемся вновь к плоскости Ввиду ограниченности струны, надо рассматривать только полосу верхней полуплоскости заключающуюся между прямыми Выясним физический смысл решения (12), в котором функции определены уже при всех значениях как указано выше. Проведя через точки О и L характеристики до встречи с противоположными границами полосы, через полученные точки пересечения опять проводим характеристики до встречи с противоположными границами полосы и т. д.

Рис. 124.

Мы разобьем таким образом полосу на области Точки области (I) соответствуют тем точкам струны, до которых успели дойти возмущения лишь от внутренних точек, а потому фиктивно добавленные бесконечные части струны здесь на движение не влияют. В точках вне области (11) мы имеем уже возмущение, дошедшее от фиктивной части струны; возьмем, например, точку в области (II). Так как

то в этой точке имеются две волны: одна — прямая, дошедшая от начально возмущенной точки струны с абсциссой другая — обратная из точки с абсциссой причем, в данном случае есть реальная точка из промежутка фиктивная. Нетрудно заменить ее реальной точкой, заметив, что, в силу (28),

и таким образом обратная волна есть не как прямая волна от начально возмущенной точки (симметричной с относительно точки L), которая, дойдя до конца струны L в момент

изменила свое направление и знак на обратные и к моменту дошла в таком виде до точки другими словами, действие закрепленного конца свелось к отражению волны смещения, связанному с переменой знака смещения и с сохранением его абсолютной величины.

То же явление мы обнаружим и для волн, дошедших до конца в точках области (III) мы будем иметь две волны: обратную и прямую, отраженную от конца х = 0. В точках областей получим волны, которые претерпели несколько таких отражений от обоих концов струны.

Если бы вместо предельного условия (25) мы, например, в конце имели бы условие

то вместо второго из уравнений (27) мы получили бы

или, заменяя опять на х,

Интегрируя это соотношение, имеем очевидно

где С — некоторая постоянная, которую, не ограничивая общности, можно считать равной нулю, в чем предоставляем убедиться читателю. Таким образом мы имеем

Рис. 125.

Физический смысл этого условия сводится также к отражению от конца , но с сохранением и знака и величины смещения.

Особенно простой пример применения изложенного выше способа характеристик и отражений дает нам защепленная струна, которая в начальный момент была оттянута за одну из ее точек без начальной скорости. Читатель без труда докажет нижеследующий способ определения фигуры струны в любой момент t по ее начальной фигуре.

На рис. 125 линией OAL изображена начальная форма струны, пунктирной — симметричное ее изображение относительно середины струны

Опустим на OL перпендикуляр АР до встречи его с прямой AL в точке находим середину С отрезка и определяем таким обоазом напоавление

Рис. 126.

Фигура струны в любой момент получится, если мы будем передвигать секущую, параллельную направлению ZC, от точки А к точке Л; в частности в момент струна займет положение пунктирной ломаной .

На рис. 126 изображены последовательные формы, принимаемые струной в моменты: