163. Ортонормированные системы в L2.

Теория ортонормированных систем в получает законченную форму. Первоначальные понятия и формулы те же, что и в [160]. Все функции считаются

вещественными. Пусть имеется ортонормированная система функций из

т. е.

Для любой функции из можем образовать ее коэффициенты Фурье относительно системы (69)

и ряд Фурье

о сходимости которого мы утверждать ничего не можем.

Имеем формулу

Наименьшее значение это выражение имеет при причем

откуда следует неравенство Бесселя

Если имеет место знак равенства, то соответствующая формула

называется уравнением замкнутости для функции относительно ортонормированной системы. Это уравнение равносильно тому, что отрезок ряда Фурье функции

стремится в к при . Докажем теперь основную в теории ортонормированных систем теорему.

Теорема 9 (Рисса - Фишера). Если любая заданная последовательность вещественных чисел, квадраты которых

образуют сходящийся ряд

то существует единственная функция из для которой числа суть коэффициенты Фурье относительно системы (69) и для которой имеет место уравнение замкнутости.

Образуем функции из

В силу ортонормированности системы (69), имеем

и из сходимости ряда (76) следует, что правая часть стремится к нулю при , т. е. последовательность (77) сходится в себе в . В силу теоремы 7 эта последовательность сходится в к некоторой функции

Пусть коэффициенты Фурье Вернемся к формуле (73). Левая часть стремится к нулю при и разность, стоящая в квадратной скобке в правой части, неотрицательна в силу неравенства Бесселя, откуда следует, что суть коэффициенты Фурье функции а из (78) следует, что для этой функции имеет место уравнение замкнутости. Остается доказать, что функция с указанными выше свойствами единственна. Пусть, кроме , имеется еще функция с указанными свойствами. При этом (77) суть отрезки ряда Фурье как для так и для и последовательность стремится в как к так и к и, в силу теоремы эквивалентны. Теорема полностью доказана.

Определение. Ортонормированная система (69) называется замкнутой, если для любой функции из имеет место уравнение замкнутости.

При доказательстве теоремы 9 мы не предполагали, что система замкнута. Если это имеет место, то в теореме не надо оговаривать, что для имеет место уравнение замкнутости, т. е. имеет место Теорема 9. Если система (69) замкнута и любая заданная последовательность вещественных чисел, для которой ряд (76) сходится, то существует единственная функция из для которой число суть ее коэффициенты Фурье.

Мы знаем, что, наоборот, для любой функции из ее коэффициенты Фурье образуют числовую последовательность для которой ряд (76) сходится. Таким образом, если система (69) замкнута, то существует биоднозначное соответствие между функциями из и числовыми последовательностями для которых ряд (76) сходится, причем суть коэффициенты Фурье относительно системы (69). Введем еще одно

Определение. Система (69) называется полной, если в L2 не существует функции, отличной от нуля (т. е. не эквивалентной нулю) и ортогональной ко всем функциям системы (69).

Мы докажем, что понятия замкнутости и полноты равносильны, т. е. из замкнутости вытекает полнота и из полноты — замкнутость.

Положим, что система замкнута, и пусть функция из ортогональна ко всем функциям системы (69):

т. е. все коэффициенты Фурье равны нулю. Из уравнения замкнутости (75) получаем

откуда следует, что функция эквивалентна нулю, т. е. система полная.

Положим теперь, что система (69) полная, и будем доказывать ее замкнутость от обратного. Пусть имеется функция из с коэффициентами Фурье такая, что для нее уравнение замкнутости не имеет места, т. е.

С другой стороны, согласно теореме 9, существует такая функция из с теми же коэффициентами Фурье, для которой имеет место уравнение замкнутости

откуда следует, что

Но у разности все коэффициенты Фурье равны нулю, т. е. эта разность ортогональна ко всем и из полноты следует,

что эквивалентна нулю, т. е. эквивалентна а потому и эквивалентна т. е. интегралы, входящие в (80), должны быть равны. Это противоречие и доказывает замкнутость системы (69).