191. Круглая мембрана.

Случай круглой мембраны дает нам пример разложения данной функции по функциям Бесселя, — пример, который важен и потому, что такие разложения встречаются в других весьма важных задачах математической физики.

Итак, мы исследуем свободные (собственные) колебания круглой мембраны, контур которой есть окружность радиуса с центром в начале координат. По-прежнему мы считаем, что на контуре мембрана не смещается. Вводя вместо прямоугольных координат полярные , мы имеем тогда

Как и в случае прямоугольной мембраны, будем искать частные решения уравнения (105) вида

но только будем считать, что функция U выражена через , а не через . Для функции U мы получим то же дифференциальное уравнение

но только нужно преобразовать его к новым переменным . Для этого достаточно выразить оператор Лапласа

в полярных координатах. Мы знаем, что оператор Лапласа от трех переменных

выражается в цилиндрических координатах в виде [131]:

Считая U независящим от , выразим (117) через полярные координаты. В дальнейшем длину радиуса-вектора мы будем обозначать буквой

вместо , а полярный угол — буквой вместо :

Уравнение (116) перепишется так:

Ищем его частные решения в виде произведения

что

или

и, наконец,

Уравнение (118) имеет общее решение вида

и так как функция U по самому смыслу задачи должна быть однозначной периодической функцией от 0 с периодом то тем же свойством должна обладать и функция , что возможно лишь при условии, что X есть число целое. Ограничившись только положительными значениями X, мы должны считать и соответствующие выражения для функций обозначим через

Таким путем мы получаем бесчисленное множество решений уравнения (105) вида

Функция удовлетворяет уравнению (119), если там заменить X на :

Как мы видели в [49], общий интеграл этого уравнения будет

где функция Бесселя и второе решение уравнения Бесселя, которое обращается в бесконечность при так как по самому смыслу задачи искомые решения должны оставаться ограниченными во всех точках мембраны, в том числе и в начале координат то в предыдущей формуле для член должен отсутствовать, т. е. . Не ограничивая общности, мы можем считать , т. е. положить

и тогда предельное условие

дает

Положив мы получаем трансцендентное уравнение для определения

которое, как это доказывается в теории функций Бесселя, имеет бесчисленное множество положительных корней

которым соответствуют значения

параметра и, в силу (107), значения

частоты . Первые девять корней первых шести функций Бесселя даны в прилагаемой таблице

Следующие корни могут быть вычислены по приближенной формуле:

которая при данном будет тем точнее, чем больше . Мы не можем здесь входить в обоснование формулы (129).

Из формулы (120) вытекает, что полученные нами частные решения можно представить в виде

Заметим еще, что при уравнение (118) имеет решения — постоянное и . Второе решение не годится, как не периодическое. В первом

случае формула (120) дает решение

Это решение также имеет вид (130) (при n = 0).

Нам остается теперь только удовлетворить начальным условиям

С этой целью, приняв во внимание полученные частные решения, мы ищем а в виде двойного ряда

Вычислив

и положив в этих формулах , мы, в силу (131), приходим к разложению данных функций в двойные ряды вида

Разлагая функцию , как периодическую функцию от 0, в обыкновенный ряд Фурье, мы имеем

где

Сравнивая это разложение с первой из формул (132), находим без труда

Коэффициенты очевидно зависят от , как это показывают их выражения (133). Мы приходим таким образом к задаче о разложении данной функции от в ряд по функциям при фиксированном . Имея эти разложения, мы определим коэффициенты , и поставленная задача будет решена.

Итак, пусть требуется разложить данную функцию в ряд вида

Допустив, что разложение это возможно и может быть интегрируемо почленно, мы покажем только, как определить коэффициенты Для этой цели мы докажем, что функции

обладают свойством обобщенной ортогональности, а именно:

Действительно, уравнение (121), если в нем заменить на и соответственно на , дает нам

Умножив первое уравнение на , второе на вычитая и интегрируя по от 0 до , получим

Интегрируя по частям, мы имеем

и точно так же

Отсюда выводим без труда:

По самому определению чисел мы имеем

откуда следует, что правая часть написанного равенства обращается в нуль при . Ввиду присутствия множителя и конечности и при можно утверждать, что правая часть обращается в нуль и на нижнем пределе но так как при отсюда вытекает

что и требовалось доказать.

После того как доказана формула (136), определение коэффициентов в разложении (135) не представляет труда: умножив обе части равенства (135) на интегрируя по от 0 до и пользуясь формулой мы находим сразу

Итак, мы можем сказать, что если разложение (135) возможно и его можно почленно интегрировать, то коэффициенты определяются по

формулам

Формулы (133) и (134) дают нам теперь следующие выражения для коэффициентов и

Пользуясь теми же соображениями, мы определим и коэффициенты - нужно только заменить в предыдущих формулах На и разделить соответствующие выражения на .

Рис. 130.

Как и в случае прямоугольной мембраны, общее движение круглой мембраны складывается из бесчисленного множества собственных гармонических колебаний, причем одной и той же частоте может соответствовать и бесчисленное множество различных случаев расположения узловых линий. На рис. 130 изображены некоторые случаи расположения узловых линий с указанием соответствующей частоты, причем за единицу принята частота основного тона; здесь же указаны и радиусы узловых линий, имеющих вид окружностей, и эти радиусы выражены в долях радиуса мембраны.

При применении метода Фурье в случае любого контура можно выделить лишь множитель, зависящий от t, согласно формуле (106), что приводит к уравнению

и надо определить те значения параметра при которых написанное уравнение имеет решения, отличные от нуля, удовлетворяющие предельному

условию (102), а также сами эти решения. В предыдущих примерах это нам удавалось сделать при помощи дальнейшего разделения переменных. В общем случае этот метод неприменим, и надо рассматривать непосредственно уравнение (137). Задача, естественно, не решается в явной форме. Теоретическое решение указанной задачи и некоторые качественные результаты, к ней относящиеся, будут даны в томе IV. Предельная задача для волнового уравнения в трехмерном пространстве в случае прямоугольного параллелепипеда решается совершенно так же, как и в [190], но только мы приходим к рядам Фурье по трем переменным х, у и z. Случай сферы опять приводит к функциям Бесселя. Мы будем говорить об этом в томе III, в связи с более подробным изложением теории функций Бесселя.

Подробное исследование сходимости рядов Фурье, получаемых при решении предельных задач для волнового уравнения в случае многих пространственных переменных будет дано в томе IV.