180. Способ Фурье.

Поперечные колебания струны, закрепленной в концах, могут быть трактованы и с помощью рядов Фурье, и хотя в этом частном случае этот способ и не так прост, как предыдущий, мы его изложим, так как он применяется во многих других задачах, к которым способ характеристик не применяется. Напишем еще раз уравнения нашей задачи в другом порядке:

Вместо того, чтобы искать общее решение уравнения (30), будем искать частное его решение в виде произведения двух функций, из которых одна зависит только от i, а другая только от х:

Подставив это в (30), имеем

или

В левой части полученного уравнения стоит функция, зависящая только в правой же — только от и равенство возможно лишь

в том случае, если и левая и правая части не зависят ни от ни от х, т. е. представляют собой одну и ту же постоянную.

Обозначим эту постоянную через

откуда получаем два уравнения

Общие интегралы этих уравнений при будут [28]

где — произвольные постоянные.

Согласно (33) для и получим

Будем теперь подбирать постоянные так, чтобы удовлетворялись предельные условия (31), т. е. чтобы в выражении (36) множитель, содержащий обращался в нуль при Это дает

Из первого уравнения следует и второе дает Если считать то, в силу решение (36) будет тождественный нуль. Такое решение не представляет для нас интереса. Поэтому мы должны считать но

Мы получаем таким образом уравнение для определения параметра который до сих пор оставался совершенно произвольным:

т. е.

Если мы подставим в или то разница будет лишь в знаке у синусов, и ввиду наличия произвольных постоянных множителей эти два решения будут по существу одинаковыми. Таким образом из значений (37) для k достаточно взять лишь положительные. Полагая в формуле и обозначая произвольные постоянные AD и BD через А и В, получим

Мы должны еще подставить вместо k одно из значений (37). Подставляя вместо k различные значения, мы можем и постоянные А и В считать различными. Мы получаем, таким образом, бесчисленное множество решений

Эти решения удовлетворяют как уравнению (30), так и предельным условиям (31). Заметим теперь, что благодаря линейности и однородности уравнений (30) и (31), если мы имеем решения им удовлетворяющие, то и их сумма будет также им удовлетворять (как и в аналогичном случае обыкновенных линейных однородных уравнений). Мы имеем таким образом следующее решение уравнений (30) и (31):

Остается подобрать постоянные так, чтобы удовлетворялись и начальные условия (32). Продифференцируем решение (39) по

Полагая в (39) и получим, в силу (32),

Написанные ряды представляют собою разложение заданных функций по синусам в промежутке . Коэффициенты таких разложений определяются по известным нам формулам, и это дает нам следующие значения и

Подставляя эти значения в формулу (39), получим ряд, формально удовлетворяющий всем поставленным требованиям. Достаточные условия, налагаемые на при которых его сумма действительно дает решение рассматриваемой задачи, будут даны ниже.