61. Трехкратный интеграл

Двукратный интеграл, о котором мы говорили в [58], можно истолковать не как объем тела, а как массу, распределенную на плоской области (с). В самом деле, вообразим, что на (а) распределена материя. Пусть количество материи на элементе содержащем внутри себя некоторую точку N. Если при беспредельном сжатии к точке N отношение ( — площадь упомянутого элемента) стремится к определенному пределу , то этот предел определяет плотность поверхностного распределения материи в точке

Если (а) разбита на малые элементы , то масса отдельного элемента приближенно равна произведению а для полной массы на (а) можем написать приближенно

где суммирование распространяется на все элементы , заполняющие . Полученное приближенное равенство будет тем более точным, чем меньше каждый элемент . В пределе при беспредельном сжимании по всем направлениям каждого из элементов , причем число этих элементов тем самым беспредельно увеличивается, мы

будем иметь

Совершенно аналогичным путем рассмотрение массы пространственного распределения материи приведет нас к понятию трехкратного интеграла. Вообразим некоторый объем в пространстве, ограниченный замкнутой поверхностью (5). Пусть в этом объеме распределена материя, общая масса которой есть . Разобьем весь объем на большое число малых элементов и обозначим массу каждого из них соответственно через . Пусть отношение

при сужении элемента к точке М, лежащей внутри этого элемента, имеет предел. Он определяет плотность (пространственную) распределения в точке М.

Обозначим этот предел через

Как и выше, мы можем писать приближенно

где суммирование распространяется на все элементы заполняющее объем .

В пределе при беспредельном сужении по всем направлениям каждого из элементов мы будем иметь

Этот физический пример приводит нас к общему определению трехкратного интеграла, аналогичному определению двукратного интеграла. Пусть ограниченная область трехмерного пространства и функция точки, определенная в этой области, т. е. функция, принимающая в каждой точке М области определенное значение. Разбиваем на частей, и пусть объемы этих частей, а какие-либо точки, находящиеся в этих частичных областях.

Составляем сумму произведений

Предел этой суммы при беспредельном возрастании числа делений и при беспредельном уменьшении каждой из частичных областей называется трехкратным интегралом от функции по области :

Замечание [ср. 58]. Пусть — максимальное расстояние между двумя точками частичной области (диаметр этой области) и d — наибольшее из чисел Беспредельное уменьшение каждой из частичных областей имеет тот смысл, что . Если буквой обозначить величину интеграла, то высказанное определение равносильно следующему: при любом заданном положительном числе s существует такое положительное число , что

Строгая теория трехкратных интегралов, как и двукратных, будет изложена в конце настоящей главы.

Рис. 40.

Если во всей области , то получится объем v этой области:

Для вычисления трехкратного интеграла нужно уметь приводить его к простым или двукратным интегралам, способ вычисления которых был уже указан.

Отнесем пространство к прямоугольным координатам. Допустим, для простоты, что поверхность (5), ограничивающая объем пересекается не более чем в двух точках любой прямой, параллельной одной из координатных осей. Построим цилиндр, проектирующий эту поверхность на плоскость в виде области (рис. 40).

Линия касания поверхности (S) с цилиндром разобьет ее на две части:

Прямая, параллельная оси OZ и проходящая через любую точку площади (а), войдет внутрь объема через часть (I) и выйдет из него через (II); ординаты точек входа и выхода и будут известными функциями от .

Условимся теперь разбивать объем на элементы следующим образом: площадь разобьем на большое число малых элементов на каждом из них, как на основании, построим цилиндр, который вырежет из столбик; этот столбик мы затем разобьем элементарные цилиндры высоты сечениями, параллельными плоскости XOY и проведенными на расстоянии одно от другого. Полученные таким путем элементы объема выражаются по формуле

Возьмем один из элементов и внутри него точку . Проведем через нее прямую, параллельную оси OZ, которая пересечет (S) в точках с ординатами на каждом из ее отрезков, заключенных внутри элементов , возьмем по точке . Сумма, входящая в формулу (15), может быть переписана так:

Фиксируем пока и будем уменьшать . Из основного понятия об определенном интеграле следует

причем величины х, у надлежит рассматривать как постоянные параметры. Итак, приближенно имеем

Но тогда, очевидно, в силу определения двукратного интеграла

т. е.

Предыдущие рассуждения, если отвлечься от геометрического истолкования, приводят нас к следующему правилу для вычисления трехкратных интегралов.

Для приведения трехкратного интеграла

к простому и двукратному: 1) проектируем поверхность (S), ограничивающую объем на плоскость XOY в виде области ;

2) определяем координаты x и точек входа и выхода прямой, параллельной и проведенной через точку (х, у) области ;

3) считая постоянным, вычисляем интеграл

а затем двойной интеграл

Двукратный интеграл можно, в свою очередь, привести к повторному, пользуясь прямоугольными координатами и мы получим окончательно

причем пределы определяются, как и в [57].

Мы предоставляем читателю разобрать другой порядок приведения трехкратного интеграла к повторному путем проектирования поверхности (5) на плоскость YOZ в виде площади или на плоскость XOZ в виде .

Формулу (17) можно переписать так:

Множитель называется элементом объема в прямоугольных координатах он получается разбиением объема из бесконечно малые прямоугольные параллелепипеды плоскостями, параллельными координатным плоскостям.

Путь строгого обоснования формулы (17) будет указан в когте настоящей главы. Заметим, что если прямые, параллельные осям» пересекают (S) более чем в двух точках, то надо разбить на части так, чтобы для каждой из частей пересечение имело место не более чем в двух точках. Вычисляя интеграл по каждой из полученных частей указанным выше способом и складывая эти интегралы, мы и получим интеграл по всей области .

Если есть прямоугольный параллелепипед, ограниченный плоскостями, параллельными координатным плоскостям

то и при первых интегрированиях пределы окажутся постоянными