46. Примеры.

1. Рассмотрим уравнение

Подставляя ряд (3), получим

откуда, приравнивая нулю коэффициенты при одинаковых степенях получим

Полагая получим последовательно значения остальных коэффициентов

е. отличными от нуля будут лишь коэффициенты , у которых значок делится на 3, и мы можем написать

Построенное нами решение будет

Для построения второго решения положим Нетрудно, как и выше, показать, что это второе решение будет

Построенные степенные ряды будут сходящимися при всяком значении X.

Проверим это для ряда по признаку Даламбера [I, 121]. В нем отношение последующего члена к предыдущему будет

при лфбом значении абсолютное значение этого отношения стремится к нулю при беспредельном возрастании , откуда и вытекает абсолютная сходимость ряда.

2. Рассмотрим уравнение

Подставляя ряд (3), получим, приравнивая коэффициент при нулю, следующее соотношение между коэффициентами :

или

Полагая , получим решение

Совершенно так же, подставляя , получим

В рассматриваемом уравнении коэффициент при имеет корни а абсолютное значение обоих из этих корней равно единице. Отсюда вытекает, что ряды должны сходиться при .

Нетрудно проверить это по признаку Даламбера. Беря отношение последующего члена к предыдущему, например, для ряда получим с точностью до знака

Деля числитель и знаменатель на можем переписать абсолютное значение этого отношения в виде

При беспредельном возрастании это отношение стремится к и, очевидно, при , т. е., согласно признаку Даламбера, ряд абсолютно сходится при Очевидно также, что он расходится при если только а не равно целому четному числу, В последнем случае ряд обрывается и превращается в многочлен. Аналогичные заключения получаются и для ряда . Можно проверить, что решения выражаются через элементарные функции