55. Автономные системы.

Вернемся к уравнению (41) и введем другие обозначения, а именно запишем его в следующем виде:

Вводя вспомогательную переменную как это мы делзли в [54], получим систему двух уравнений первого порядка

Пусть координаты точек плоскости и — время. Будем считать, что однозначные, непрерывные и имеют непрерывные частные производные первого порядка на всей плоскости. Таким образом, вся плоскость и промежуток изменения t являются областью В теоремы А существования и единственности в пространстве Уравнения (69) можно толковать как задание составляющих вектора скорости, т. е. самого вектора скорости, а решения его

как движения точек с течением времени. Решения уравнения (68) определяют траектории движущихся точек, а формулы (69) дают закон движения точек по этим траекториям в зависимости от времени.

Для системы (69) характерен тот факт, что правые части уравнений не содержат t, и такие системы называются обычно автономными системами. Мы рассматриваем случай движения на плоскости, т. е. случай двух функций Если при правые части уравнений обращаются в нуль: т. е. точка есть особая точка уравнения (68), то система (69) имеет очевидное решение и точку естественно назвать точкой покоя системы. В [54] мы рассмотрели при некоторых предположениях вид траектории вблизи точек покоя. Положим для определенности, что во всякой ограниченной части плоскости имеется конечное число точек покоя. Если мы исключим все эти точки, то оставшаяся часть плоскости заполняется траекториями, каждая из которых имеет некоторый максимальный промежуток существования и эти траектории не пересекаются друг с другом. Из того факта, что t входит в уравнения (69) только под знаком дифференциала, непосредственно следует, что наряду с решением (70) имеется решение

где с — произвольная постоянная. Если максимальный промежуток существования решения (70), то для решения (70 это будет промежуток . Обоим решениям соответствует одна и та же траектория. Решение ) описывает ее с запаздыванием на величину с (при ) по сравнению с решением (70). Выше мы упоминали, что различные траектории не имеют общих точек. Рассмотрим одну определенную траекторию точка покоя), у которой существуют совпадающие точки при различных t, т. е. при Учитывая теорему существования и единственности, нетрудно видеть, что это замкнутая траектория, не содержащая, естественно, точек покоя (мы их исключили). Можно также доказать, что функции соответствующие такой траектории, имеют промежуток существования и обладают свойством периодичности, т. е. существует такое число что при всех t. Среди таких чисел имеется наименьшее, и все числа вида суть также периоды. Точка на всяком промежутке вида описывает замкнутую траекторию один раз.

Таким образом, кроме точек покоя, имеются два вида траекторий: 1) траектории, которые не самопересекаются (нет одинаковых точек при различных замкнутые траектории. Последние называются также циклами. Все сказанное выше имеет место и в случае любого числа переменных

Вернемся к случаю плоскости. Одной из основных задач теории дифференциальных уравнений является качественное изучение расположения траекторий на всей плоскости или, как говорят, «в целом». Существенную роль при этом играют точки покоя и циклы. Иначе говоря, есть задача о качественной картине интегральных кривых уравнения (68) на всей плоскости. Точки покоя определяются решением системы уравнений

Весьма сложной является задача разыскания циклов. Введем новое понятие. Предельным циклом называется изолированный цикл, т. е. цикл обладающий следующим свойством: существует такое положительное число , что траектория, проходящая через любую точку, кратчайшее расстояние которой до I меньше , не есть замкнутая траектория.

Траектории, проходящие через точку, лежащую внутри цикла в силу единственности лежат целиком внутри Аналогичное свойство имеет место и для траекторий, лежащих вне l. Приведем без доказательства еще два результата.

Внутри всякого цикла l находится по крайней мере одна точка покоя. Если предельный цикл, то все траектории, находящиеся как внутри, так и вне и выходящие из точек, достаточно близких к наматываются спиралеобразно на l при или причем возможны следующие случаи: 1) внутренние и внешние траектории наматываются на при то же самое при один из указанных классов траекторий наматывается при а другой при .

Предельные циклы имеют не только теоретическое, но и большое практическое значение в физике. Отметим, что, говоря о цикле, мы подразумеваем, как указано выше, замкнутую траекторию без точек покоя.

Можно доказать также следующие факты: траектории закручиваются вокруг точки покоя, являющейся фокусом, и стремятся к узлу при или если точка покоя — седло, то к ней стремятся четыре траектории: две при и две — при причем первые две и последние две образуют линии, проходящие через седло и имеющие непрерывно меняющуюся касательную.

Доказательство указанных выше утверждений и вообще изложение теории автономных систем можно найти в книге Л. С. Понтрягина «Обыкновенные дифференциальные уравнения».