92. Основные теоремы.
Докажем две теоремы, связанные с введенными понятиями.
Теорема 1. Всякое бесконечное, ограниченное множество имеет по крайней мере одну предельную точку.
В силу ограниченности множества Е все его точки принадлежат некоторому квадрату: 
который мы будем обозначать символом 
Разделим этот квадрат на четыре равных квадрата. По крайней мере один из них 
содержит бесчисленное множество точек из Е. Квадрат 
опять разделим на четыре равных квадрата, и по крайней мере один из них содержит бесчисленное множество точек из Е, и т. д. Мы имеем, таким образом, две бесконечные последовательности замкнутых промежутков
и в каждой из них следующий промежуток есть половина предыдущего. Последовательность 
есть неубывающая последовательность, а 
невозрастающая, и обе последовательности ограничены. Таким образом 
имеют предел при 
. Но разность 
при 
и следовательно, 
имеют один и тот же предел: 
при 
Совершенно аналогично, 
при 
и точка М с координатами 
есть, как нетрудно видеть, предельная точка для Е.
Поскольку в любой 
-окрестности предельной точки М находится бесконечное число точек 
мы можем выбрать такую бесконечную последовательность различных точек 
из Е, что 
. Итак, если Е имеет предельную точку М, то существует бесконечная последовательность различных точек 
, стремящихся к М. Бесконечное множество, состоящее из точек 
с координатами 
не имеет предельных точек (это множество — не ограничено).
Пусть Е и 
какие-либо множества точек. Берем всевозможные расстояния MN любой точки М из Е и любой точки N из 
. Полученное множество неотрицательных чисел MN имеет некоторую точную нижнюю границу 
. Это число 
называется расстоянием
между множествами Е и 
Если эти множества имеют хотя бы одну общую точку, то, очевидно, 
. Но это равенство может иметь место и для множеств без общих точек.
Теорема 2. Пели С и 
замкнутые ограниченные множества без общих точек, то расстояние 
между ними положительно.
Доказываем от обратного. Пусть 
. Из определения точной нижней границы следует, что при этом должна существовать такая последовательность точек 
из Е и 
из 
что расстояния 
при 
. Отметим, что среди точек 
и среди точек 
могут быть и совпадающие. Возможны два случая: или среди 
бесчисленное множество различных точек, или таких точек лишь конечное число, и то же возможно и для Пусть для 
имеет место первый случай. В силу ограниченности П и теоремы 1 можно утверждать, что множество 
имеет по крайней мере одну предельную точку, и мы оставим только те отрезки прямых 
в которых 
стремится к некоторой предельной точке 
при беспредельном возрастании значка. Из этой подпоследовательности выделим новую так, чтобы и последовательность 
стремилась к некоторой предельной точке N. Нумеруя полученную бесконечную последовательность опять целыми положительными значками, можем считать, что в последовательности 
стремятся к предельным точкам 
и N при 
. В силу замкнутости Е и 
можем утверждать, что 
принадлежит Е, а N принадлежит С другой стороны, из 
следует, что 
и N совпадают, а это противоречит тому, что Е и 
не имеют общих точек.
Переходим ко второму случаю. Пусть он имеет место для 
. При этом имеется бесчисленное множество совпадающих 
Сохраняя лишь те пары 
где 
совпадают с некоторой точкой 
получим, сохраняя прежнюю нумерацию, последовательность отрезков 
где 
из Е и 
из 
Среди точек 
не может быть бесчисленного множества одинаковых, ибо 
не имеют, по условию, общих точек. Применяя то же рассуждение, что и выше, можем считать, что 
стремятся к некоторой точке N из 
к из 
получаем, что 
и N должны совпадать, что опять приводит к противоречию. Теорема доказана.
Из доказанной теоремы следует, что если точка М не принадлежит замкнутому множеству Е (ограниченному или неограниченному), то расстояние между 
и Е положительно.
Легко доказать и следующее утверждение: если Е и 
ограниченные замкнутые множества, то существует по крайней мере одна такая пара точек М из Е и N из 
что 
. Отметим, что расстояние между двумя неограниченными замкнутыми множествами, не имеющими общих точек, может равняться нулю, так как эти множества могут безгранично сближаться при удалении на бесконечность. Этого не может быть, если одно из них ограничено.
, где 
принадлежат некоторому множеству Е. Множество неотрицательных чисел 
имеет [I, 42] точную верхнюю границу d, которая может равняться и 
Число d называется диаметром множества Е. Для ограниченных множеств d не равно 
а для неограниченных 
- окрестность точки 
определяется неравенством с 
, ограниченная область есть некоторый открытый промежуток 
а граница состоит из двух точек 
Нетрудно показать, что открытое множество Е есть множество точек конечного или бесконечного числа открытых промежутков, без общих точек, причем в последнем случае складываемые промежутки можно пронумеровать: 
. В трехмерном случае точка определяется тройкой чисел 
, а 
-окрестность точки 
неравенством
