31. Корни решений и колеблющиеся решения

Мы рассмотрим в этом номере вопрос о корнях решений уравнений т. е. о корнях уравнения где некоторое решение уравнения (1). Мы, естественно, будем предполагать, что решение отлично от нулевого решения

Все наши рассуждения будут, как и выше, относиться к промежутку изменения в котором коэффициенты непрерывны. Если есть корень некоторого решения отличного от нулевого, т. е. то обязательно , ибо

начальным данным соответствует нулевое решение.

Если есть корень двух решений то из (4) следует, что при , т. е. решения и линейно зависимы. Таким образом, линейно независимые решения не имеют общих корней. Если решения линейно зависимы, т. е. отличаются лишь постоянным множителем, то они имеют, очевидно, одни и те же корни.

Пусть корень решения отличного от нулевого. Покажем, что существует окрестность этой точки которая не содержит других корней Если бы при любом сколь угодно малом положительном в указанной окрестности были бы корни, отличные от то мы могли бы составить бесконечную последовательность корней отличных от которая бы стремилась к Составим отношение

Поскольку это отношение равно нулю при всяком . С другой стороны, при это отношение имеет предел и следовательно, Но, по условию, а потому есть нулевое решение, что противоречит нашему предположению. Из доказанного следует, что на всяком конечном замкнутом промежутке может существовать только конечное число корней любого решения Если бы это было не так, то существовала бы, как нетрудно показать, последовательность различных корней принадлежащих промежутку имеющая предел, который мы обозначим через . В силу непрерывности из следует, что и причем любой окрестности принадлежит бесчисленное множество корней решения чего не может быть, как мы показали выше.

Пусть последовательные корни некоторого решения при решение, линейно независимое с Покажем, что имеет по крайней мере один корень на промежутке хдхх Будем вести доказательство от обратного. Пусть таких корней нет. Из линейной независимости следует, что не равно нулю при на замкнутом промежутке и следовательно, частное есть непрерывная на этом промежутке функция, равная нулю на его концах. Но из формулы (7) следует, что это частное — монотонная на этом промежутке функция — возрастающая, если число или убывающая, если Полученное противоречие и доказывает, что имеет по крайней мере

один корень на промежутке . Если бы эта функция имела два корпя на этом промежутке то, применяя предыдущие рассуждения, мы получили бы, что имеет по крайней мере один корень между а это противоречит тому, что последовательные корни Мы приходим, таким образом, к следующей теореме:

Теорема 1 (Штурма). Если два последовательных корня некоторого решения уравнения (1), то всякое другое линейно независимое с решение того же уравнения имеет в точности один корень между

Иначе эту теорему можно сформулировать так: корни двух линейно независимых решений уравнения (1) взаимно разделяют друг друга.

Из сказанного следует, что если некоторое решение уравнения (1) имеет корней на конечном замкнутом промежутке , то число k корней всякого другого решения (отличного от нулевого) уравнения (1) при подчиняется неравенству: Введем новые понятия. Если решение имеет в некотором промежутке не более одного корня, то оно называется неколеблющимся в этом промежутке. Если же число корней в 1 не меньше двух, то оно называется колеблющимся в

Рассмотрим простейшее уравнение где положительная постоянная. Решения на всем бесконечном промежутке не имеют корней. Общее решение Схех также не имеет корней, если постоянные Q и имеют одинаковый знак, и имеют один корень эти постоянные разных знаков. Таким образом, всякое решение указанного уравнения будет неколеблющимся на любом промежутке. Уравнение имеет решения которые на любом замкнутом промежутке, длина которого не меньше имеют не меньше двух корней, т. е. будут колеблющимися на таком промежутке. Как легко видеть, то же можно утверждать и о любом решении указанного уравнения.

Разница в поведении решения рассмотренных уравнений обусловлена тем, что в первом из них коэффициент при у отрицателен а во втором положителен Докажем теперь теорему о неколеблющихся решениях для уравнения с переменным коэффициентом.

Теорема 2. Если непрерывная функция на конечном о о ну том промежутке на этом промежутке, то все решения уравнения

- неколеблющиеся на этом промежутке.

Будем доказывать от обратного. Пусть имеется решение уравнения (16), отличное от нулевого и имеющее более одного корпя на промежутке , и пусть и два последовательных корня так что при Не ограничивая общности, можем считать при ибо если мы заменим на . Из (41) и следует, что

а потому не убывает на этом промежутке, т. е. при . Напишем формулу Лагранжа [I, 63]:

Заменяя множитель при положительной разности на получим

или, в силу

Из при следует, что . Но, поскольку не есть нулевое решение, должно быть и предыдущее неравенство приводит к неравенству , которое противоречит условию Теорема доказана.

Сформулируем еще одну теорему, доказательство которой в основном аналогично доказательству предыдущей теоремы. Она касается вопроса сравнения колебательности решений двух уравнений

Теорема 3. Если на промежутке то между каждыми двумя корнями любого решения первого уравнения находится по крайней мере один корень любого решения второго уравнения.

Короче говоря, увеличение коэффициента в уравнении (41) может только увеличить колебательность всех его решений. Отметим, что теорема 2 является следствием последней теоремы.

Общее уравнение вида (1)

может быть приведено к виду (41) при помощи замены новой искомой функцией

Подставляя это выражение в первоначальное уравнение (1), получим, как нетрудно проверить, уравнение

причем

Отметим, что множитель показательного типа, входящий в выражение через не обращается в куль, так что имеют одни и те же корни.