74. Независимость криволинейного интеграла от пути на плоскости.

Примеры криволинейных интегралов, разобранные в [70], показывали, что в некоторых случаях величина криволинейного интеграла не зависит от пути интегрирования, но лишь от начальной и конечной точек интегрирования, а в других случаях вид самого пути влияет на величину интеграла.

Рис. 62.

Теперь, пользуясь формулами Грина и Стокса, мы выясним те условия, при которых величина интеграла не зависит от пути интегрирования. Мы начнем со случая плоской кривой и выясним условия независимости криволинейного интеграла

от пути. Все дальнейшие рассуждения будут относиться к внутренней части некоторой конечной области (D), ограниченной одним контуром. Функции Р и Q вместе с указанными ниже частными производными считаются непрерывными внутри (D). Соединяя точки (А) и (В) кривыми (1) и (2) (рис. 62), мы должны иметь

или, пользуясь свойством II [69],

где - замкнутый контур, составленный из кривой (1) с направлением от (А) к (В) и кривой (2) с направлением от (В) к (А). Таким образом, ввиду произвольности точек А и В, мы видим, что интеграл по любому замкнутому контуру должен равняться нулю. Наоборот, если интеграл по. замкнутому контуру равен нулю, то интеграл по (1) равен интегралу по (2), так как из равенства (25), наоборот, вытекает равенство (24). Если кривые (1) и (2), соединяющие точки А и В, пересекаются, то, соединив А с кривой (3), которая не пересекается ни с кривой (1), ни с (2), из равенств

будем иметь

Итак, условие независимости интеграла от пути совпадает с условием, что интеграл по любому замкнутому контуру равен нулю.

Если последнее условие выполнено, то из формулы (18) мы получим

причем область интегрирования (а) может быть взята совершенно произвольно.

Покажем, что отсюда вытекает

тождественно, т. е. при всех значениях х и у из .

В самом деле, пусть в некоторой точке разность

отлична от нуля, например положительна. В силу непрерывности производных что мы предполагаем, указанная разность будет положительной в некотором малом круге с центром в С Составим интеграл

и применим к нему теорему о среднем

где — некоторая точка из и потому , откуда вытекает, что

а это противоречит тому, что интеграл (26) равен нулю при любом выборе области . Итак, условие (27) необходимо для независимости интеграла от пути. Нетрудно видеть, что оно и достаточно, ибо из него, в силу (18), вытекает, что интеграл по любой замкнутой кривой равен нулю, что и равносильно независимости интеграла от пути.

Итак, условие (27) необходимо и достаточно для того, чтобы интеграл

не зависел от пути интегрирования и был только функцией координат точек А и В.

Рис. 63.

Если это условие выполнено, и мы закрепим точку , а будем считать переменной только точку то интеграл (28) будет функцией или, как говорят, функцией точки В:

Исследуем свойства этой функции. Оставив без изменения у, дадим приращение только переменной х. Мы получим

Ввиду независимости интеграла от пути интегрирования, мы можем считать, что путь интегрирования в первом интеграле состоит из кривой АВ (рис. 63), соединяющей А с В, той же самой, что и второго интеграла, и отрезка прямой . Интеграл по АВ

сократится и останется

ибо на прямой ВВ' у не меняется, и . Применяя теорему о среднем [1, 96], мы находим

Разделив на и приближая к 0, получим

Таким же точно образом мы найдем

Соотношения (30) и (31) дают нам [I, 68]

Таким образом оказывается, что при выполнении условия (27) подынтегральное выражение

является полным дифференциалом функции определяемой по формуле (29). Нетрудно показать, что самое общее выражение функции от которой полный дифференциал равен (32), дается формулой

где С — произвольная постоянная. В самом деле, мы должны иметь

откуда

Но если дифференциал некоторой функции равен тождественно нулю, то частные производные этой функции по всем независимым переменным равны нулю, и, следовательно, сама функция есть постоянная, т. е.

что и требовалось доказать.

Отметим очевидное равенство, которое будет иметь место при соблюдении условия (27):

Обратно, пусть существует такая функция что

Покажем, что необходимо должно быть

и что функция определяется по формуле

В самом деле, соотношение (35) можно переписать в виде

и так как величины , как дифференциалы независимых переменных, совершенно произвольны [1, 68], то это равенство может иметь место только при условии, что равны коэффициенты при в обеих частях равенства, т. е.

откуда уже ясно, что

Итак, при этом выполнено условие (27), а тогда, в силу предыдущих рассуждений, интеграл

зависит только от и обладает свойством

откуда следует

что n требовалось доказать. Итак, необходимое и достаточное условие для того, чтобы выражение было полным дифференциалом некоторой функции заключается в том,

чтобы существовало тождество

при выполнении которого функция определяется по формуле