167. Теорема Дирихле.
Пользуясь леммой из предыдущего номера, мы докажем без труда теорему Дирихле [155]. Нам надо доказать, в силу (3) что выражение
стремится к 
при беспредельном возрастании 
. Рассмотрим вместо (20) выражение
Верхние пределы в обоих интегралах положительны, и функции 
удовлетворяют условиям Дирихле в промежутке интегрирования. Кроме того, 
и, по доказанной в предыдущем номере лемме, выражение (21) стремится к пределу Остается доказать, что разность выражений (20) и (21) стремится к нулю. Для этого достаточно показать, что интегралы
стремятся к нулю. Докажем это для первого интеграла:
где
Первый множитель 
имеет в промежутке интегрирования конечное число разрывов первого рода (или непрерывен). Второй
при 
стремится к нулю и никаких разрывов в промежутке 0, не имеет. Следовательно, к интегралу (22) применима лемма из [164], и этот интеграл стремится к нулю. Таким образом, утверждение теоремы Дирихле доказано.
Мы дополним доказанную теорему еще двумя предложениями, которые мы приведем без доказательства. Полученное нами предложение обнаруживает лишь то, что во всякой точке промежутка 
ряд Фурье 
сходится и имеет суммой 
но в этом предложении ничего не. упоминается о характере сходимости в промежутке 
Предложения, которые мы сейчас формулируем, восполняют этот пробел.
1. Во всяком промежутке, в котором функция 
удовлетворяющая условиям Дирихле, кроме того, непрерывна, и который лежит внутри промежутка 
ряд 
сходится равномерно.
2. Если 
удовлетворяющая условиям Дирихле, непрерывна во всем промежутке 
, и сверх того
то ряд 
сходится равномерно при всех значениях х.
Читатель покажет без труда, что предложения, аналогичные указанным выше, имеют место для рядов, расположенных только по косинусам или только по синусам в случае, если функция определена в промежутке 
, со следующими изменениями:
При условиях теоремы Дирихле для промежутка 
сумма ряда
равна
и
сумма же ряда
будет (24); при 
и нуль при 
Все эти результаты получаются очень просто, если продолжить функцию 
в соседний промежуток 
четным образом в случае ряда (23) и нечетным в случае ряда (25), как это было сделано в [157].
