ГЛАВА VII. УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

§ 17. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ

176. Уравнение колебаний струны.

Вопрос об интегрировании дифференциальных уравнений с частными производными принадлежит к наиболее трудным и обширным отделам анализа, и здесь мы ограничимся рассмотрением основных задач из указанной области. Настоящий параграф мы посвятим задачам, связанным с так называемым волновым уравнением

где

К этому уравнению мы пришли при рассмотрении звуковых и электромагнитных колебаний. Положим, что и не зависит от у и z, т. е. что и имеет одинаковое значение во всех точках любой плоскости, перпендикулярной оси ОХ. В этом случае волновое уравнение принимает вид

и в таких случаях говорят обычно, что имеется плоская волна. Мы покажем сейчас, что такое же уравнение получается при рассмотрении малых поперечных колебаний натянутой однородной струны.

Под струной мы понимаем тонкую нить, которая может свободно изгибаться. Допустим, что она находится под действием сильного натяжения То и в состоянии равновесия без внешних сил направлена по оси ОХ. Если мы выведем ее из положения равновесия и, кроме того, подвергнем действию какой-нибудь силы, то струна начнет колебаться, причем точка струны, занимавшая при равновесии положение N с абсциссой к моменту t займет положение Мы ограничимся рассмотрением только поперечных колебаний, предполагая,

что все движение происходит в одной плоскости и что точки струны движутся перпендикулярно оси ОХ (рис. 120). Смещение NM точек струны мы обозначим через и. Это смещение и будет искомой функцией двух независимых переменных

Выделим элемент струны который при равновесии занимал положение NN. Считая деформации малыми, мы будем пренебрегать квадратом производной по сравнению с единицей. Пусть а — острый угол, образованный направлением касательной к струне с осью ОХ. Мы имеем

Рис. 120.

Обозначим через F силу, действующую на струну перпендикулярно к оси ОХ и рассчитанную на единицу длины. На рассматриваемый элемент ММ действуют следующие силы: натяжение в точке направленное по касательной в точке М, причем оно образует острый угол с осью ОХ, натяжение в точке направленное по касательной в точке М и образующее тупой угол с осью и сила направленная по оси и. Ввиду сделанного предположения малости деформаций мы считаем оба упомянутых выше натяжения равными по величине натяжению 70. Положим сначала, что мы имеем равновесие струны под действием упомянутой силы F. Проектируя на ось и, будем иметь следующее условие равновесия:

где a — значение упомянутого угла а в точке М, т. е.

и, следовательно,

Разность, стоящая в квадратных скобках, выражает приращение функции, вызванное изменением на Заменяя это приращение дифференциалом, получим [I, 60]

Подставляя в (2) и сокращая на будем иметь уравнение равновесия струни

Для получения уравнения движения нам достаточно, по принципу Даламбера, к внешней силе добавить еще силу инерции, которую мы получим следующим образом: скорость точки М есть очевидно а ускорение и поэтому сила инерции элемента ММ, равная с обратным знаком взятому произведению ускорения на массу, будет

где есть линейная плотность струны, т. е. масса единицы длины, а сила инерции, рассчитанная на единицу длины, будет

причем мы считаем постоянной величиной.

Итак, уравнение движения мы получим, заменяя в уравнении (3)

Разделив на и положив

мы получаем уравнение вынужденных поперечных колебаний струны

Если внешняя сила отсутствует, мы имеем и получаем уравнение свободных колебаний струны

В томе IV мы укажем другой вывод уравнения (S) на основе принципа Гамильтона.

Выше мы предполагали, что внешняя сила распределена по всей струне непрерывно; но иногда приходится иметь дело с силой , сосредоточенной в одной точке С. Этот случай можно рассматривать либо как предельный случай предыдущего, считая, что сила действует на бесконечно малый элемент длины около точки С, но так что произведение ее величины на стремится к конечному

пределу, отличному от нуля, при либо же непосредственно, прилагая уравнение (2) к элементу ММ около точки С и заменяя там на . Заметим при этом, что мы не добавляем к силы инерции , так как считаем, что она стремится к нулю при

Считая, что концы элемента приближаются к точке С, и обозначив предельные значения, к которым стремится когда мы приближаемся к точке С справа или слева, соответственно через

мы получаем в пределе из уравнения (2)

Мы видим, таким образом, что в точке С действия сосредоточенной силы струпа имеет угловую точку, т. е. точку с различными направлениями касательной слева и справа.

Как и вообще в динамике, одного уравнения движения (S) недостаточно для полного определения движения струны: нужно еще задать ее состояние в начальный момент т. е. положение ее точек и и их скорость при как известные функции от

Эти условия, которым должна удовлетворять искомая функция и при называются начальными условиями.

Теоретически можно рассматривать бесконечную струну, и в этом случае для нахождения решения достаточно уравнения (S) и условий (8), причем должны быть заданы во всем бесконечном промежутке Этот случай может соответствовать рассмотрению плоских волн в безграничном пространстве. Как мы увидим в дальнейшем, полученные для бесконечной струны результаты дадут нам картину распространения возмущений и в ограниченной струне до того момента времени, когда в рассматриваемую точку придут возмущения, отраженные от концов струны.

Но если струна ограничена с одной или с обеих сторон в точках то нужно указать, что делается на ее концах. Пусть, например, конец струны закреплен. В этом случае мы должны иметь

Если закреплен и конец то мы получаем еще

и эти условия должны быть выполнены при всяком

Но концы струны могут быть не закреплены, а двигаться заданным образом. Тогда ординаты этих точек струны нужно считать заданными функциями от времени, т. е. положить

Как бы то ни было, если струна ограничена с одной или с обеих сторон, то для каждого ее конца должно быть задано условие, которое называется предельным условием.

Итак, мы видим, что для решения конкретной физической задачи не меньшее значение, чем само уравнение движения, имеют дополнительные начальные и предельные условия, и что нас интересует не столько нахождение каких-нибудь решений или даже общего решения уравнения движения, сколько нахождений именно того решения, которое удовлетворяет поставленным начальным и предельным условиям.