117. Соотношения между скалярным к векторным произведениями.

Составим скалярное произведение вектора А на векторное произведение

Величина векторного произведения равна площади параллелограмма, построенного на векторах В и С. Но

и, следовательно, это произведение можно рассматривать как про изведение площади упомянутого параллелограмма на проекцию вектора А на направление N, перпендикулярное к этой площади, т. е. скалярное произведение выражает объем параллелепипеда, построенного на векторах А, В и С. Его энак зависит от ориентировки координатных осей. Нетрудно видеть, что если совокупность векторов В, С, А или, что то же, А, В, С имеет ту же ориентировку, что и оси координат, то мы будем иметь знак . В этом можно убедиться тем же методом непрерывной деформации, которым мы уже пользовались выше .

При вычислении обьема параллелепипеда мы за основание его принимали параллелограмм, построенный на векторах В и С. Но точно так же мы могли бы принимать за основание параллелограмм, построенный на векторах С и А или А и В. Мы получаем, таким образом, следующие соотношения:

Следует только обратить внимание на знаки этих трех скалярных произведений. Они будут одинаковы, так как совокупность векторов (А, В, С), (В, С, А) и (С, А, В) имеет одинаковую ориентировку. Две последние совокупности получаются из первой путем круговой перестановки. При другом порядке иекторов знак переодет в обратный, т. е., например,

Если три вектора А, В, С компланарны, то объем параллелепипеда будет равен нулю, т. е. в этом случае

Это равенство есть необходимое и достаточное условно компланарности трех векторов А, В и С.

Рассмотрим теперь векторное произведение А на векторное произведение В X С, т. е.

Так как вектор D перпендикулярен вектору В X С, то он компланарен с В и С, а поэтому [113]:

но D перпендикулярен и к А, а потому [115]:

откуда

после чего оказывается

и остается только определить коэффициент пропорциональности р. Для этого достаточно сравнить слагающие по какой-нибудь из координатных осей векторов в левой и правой частях предыдущей формулы. Направим ось ОХ параллельно А и вычислим слагающие по оси OZ. Заметив, что при сделанном выборе осей

мы имеем для левой части [116]

а для правой [115]

отсюда, сравнивая, получим, что .

Это приводит нас к следующей формуле:

Как следствие из этой формулы, выведем разложение вектора В по двум направлениям: параллельному и перпендикулярному к данному вектору А. Положив в формуле (20) , перепишем ее в виде

или

где

что и дает искомое разложение, так как очевидно, что вектор В параллелен, вектор же перпендикулярен вектору А.