108. Интегралы от неограниченных функций.

Мы определили интеграл от ограниченной функции по множеству Е конечной меры. Положим теперь, что - неограниченная неотрицательная измеримая функция на множестве Е конечной меры. Определим «урезанную функцию»:

т. е. значения не большие , сохраняются, а значения, большие , заменяются на . Функция ограничена и измерима (легко доказать), а потому существует интеграл

который не убывает при возрастании . Если этот интеграл имеет конечный предел при то величину указанного предела принимают за величину интеграла от по Е:

и говорят, что суммируема по Е.

Отметим, что закон беспредельного возрастания — несуществен. Если ограниченная функция, то это определение интеграла совпадает с прежним, ибо при всех достаточно больших . Если интегралы (67) беспредельно возрастают при то говорят, что интеграл от по Е равен Отметим, что если суммируема на Е, то мера множества

равна нулю, т. е. принимает на Е почти везде конечные значения. Действительно, очевидно, что при любом имеем

на и для неотрицательных ограниченных функций имеем

Если , то правая часть и тем более интеграл, стоящий в левой части, стремятся к при т. е. не суммируема на Е.

Положим теперь, что неограниченная функция, принимающая виачения разных знаков. Определим положительную и отрицательную части

Обе эти функции неотрицательны и измеримы на Е:

и

Если суммируемы на Е, то говорят, что и функция суммируема на Е и величина интеграла от по Е определяется формулой

Если уменьшаемое правой части равно а вычитаемое конечно, т. е. суммируема по Е, то говорят, что интеграл от по Е равен . Совершенно аналогично, если суммируема по Е, а вычитаемое правой части (71) равно то говорят, что интеграл от по Е равен

Из определения неотрицательных функций следует, что если в некоторой точке то а если то и, пользуясь (69) и (70), получаем

при Отсюда легко вытекает, что суммируемость равносильна суммируемости , т. е. суммируемость есть абсолютная суммируемость . Отметим еще, что суммируемая на Е функция имеет почти везде на Е конечные значения. Это непосредственно следует из того, что у неотрицательной суммируемой функции мера множества равна нулю.

Укажем теперь остальные свойства интеграла от суммируемости функции по множеству конечной меры. Будем считать, что

Для функиий, меняющих знак, все сводится к в силу (71). Вез изменения сохраняются свойства , причем свойство 12 без условия ограниченности . Свойство 3 формулируется так:

1. Если суммируемы по Е, то и их линейная комбинация с постоянными положительными коэффициентами есть суммируемая функция и имеет место формула (51).

Имеет место и следующее, просто доказываемое свойство:

2. Если суммируема на Е, то она суммируема и на любой измеримой части Е множества Е и

Докажем абсолютную непрерывность интеграла.

3. Если суммируема на Е, то при любом заданном существует такое что

если

Существует такое что

При этом, в силу (72), для любого

т. е.

и при получаем (73).

4. Если суммируема на Е и множество Е разбито на Конечное или счетное число множеств (попарно, без общих точек), то имеет место формула (58).

Рассмотрим случай бесконечного числа множеств . Для ограни ченной функции имеем

откуда

и при , получим

Докажем теперь противоположное неравенство. Из следует, что при любом и любом конечном

и при получим

откуда при и следует неравенство, противоположное (74), т. е.

Просто доказываются и следующие два свойства:

5. Если Е разбито на счетное число измеримых множеств функция суммируема на каждом и ряд с неотрицательными слагаемыми

сходится, то суммируема на Е и имеет место формула

6. Если на Е и суммируема на Е, то и суммируема и

Отметим те изменения, которые надо внести в формулировку свойств, если неограниченная функция, меняющая знак: в свойстве 1 постоянные коэффициенты могут быть любого знака; свойство 2 сохраняется, но без неравенства (72); свойство 5 сохраняется, если в сумме заменить на Свойство 6 заменяется следующим;

7. Если измерима на - измерима, неотрицательна и суммируема на Е и то суммируема на Е и

Нетрудно ввести понятие суммируемых функций и определить интеграл для функций принимающих комплексные значения. Разделим у такой функции вещественную и мнимую части:

Функция называется суммируемой на Е, если суммируемы и интеграл определяется в этом случае формулой

Имеет место следующее свойство: для суммируемости необходима и достаточна суммируемость модуля . Это непосредственно следует из неравенств