78. Интегрирующий множитель.

Если выражение

не есть полный дифференциал, т. е.

то, как мы покажем, всегда можно найти такую функцию , по умножении на которую выражение (51) обратится в полный дифференциал

Всякая такая функция называется интегрирующим множителем выражения (51).

Для того чтобы функция была интегрирующим множителем выражения (51), в силу (27), необходимо и достаточно выполнение равенства

которое, будучи переписано в виде

может быть рассматриваемо как уравнение для определения множителя . Фактически, вообще говоря, этим уравнением трудно пользоваться, так как оно является уравнением в частных производных, задача интегрирования которых еще более сложна, чем задача интегрирования обыкновенных уравнений.

Если выражение (51) есть полный дифференциал, то дифференциальное уравнение

называется уравнением типа полного дифференциала.

Оно может быть сразу проинтегрировано. В самом деле, пусть U и есть та функция, для которой

Функция эта при сделанном предположении, которое равносильно условию (27), может быть найдена всегда по формуле (29). Уравнение (55) равносильно равенстоу т. е.

каковое равенство и дает общий иитеграл данного дифференциального уравнения (55).

Пусть теперь выражение (51) не есть полный дифференциал. Дифференциальное уравнение (55) всегда имеет, в силу теоремы существования, общий интеграл, который мы запишем в виде

Функция F(x, у) должна удовлетворять соотношению

где в сил мы должны заменить на т. е. должно иметь место тождество

Обозначая через общую величину этих двух равных отношений, мы имеем

т. е. есть интегрирующий множитель выражения (51).

Это рассуждение доказывает, что всякое выражение имеет интегрирующий множитель.

Найдя интегрирующий множитель выражения (51) и по нему функцию F, можно написать общий интеграл дифференциального уравнения (55):

Примеры. 1. Линии тока установившегося плоского течения жидкости имеют дифференциальное уравнение

где — проекция вектора скорости v на координатные оси. Если жидкость несжимаема, то выполняется условие:

которое показывает, что выражение

есть полный дифференциал некоторой функции; действительно, в [77] мы видели, что

где есть функция тока, и уравнение линий тока будет:

что и дает общий интеграл уравнения

2. В примере 4 [70] мы упоминали об элементарном тепловом процессе и дали выражение бесконечно малого количества тепла, получающегося при таком процессе, в зависимости от бесконечно малых изменений давления , объема v и температуры Т.

Напишем три выражения для в зависимости от того, какие из трех величин , считаются независимыми переменными:

Величины особенно важны и называются теплоемкостями вещества при постоянном объеме и постоянном давлении.

Если мы в (59) будем выражать одни независимые переменные через другие, то получим ряд соотношений между коэффициентами. Так, в равенстве

будем считать независимыми переменными Т и v. Положим

Подставив это выражение для в (60) и приравняв коэффициенты при имеем

Таким же путем из равенства

мы получим

В случае идеального газа мы имеем уравнение состояния

откуда следует

и тогда соотношения (61)-(64) дают

Этй равенства позволяют выразить величины через основные

Выражение вообще говоря, не есть полный дифференциал. Но в силу двух основных начал термодинамики можно утверждать, что:

I. Разность между и элементарной работой давления есть полный дифференциал

причем функция U называется внутренней энергией.

II. Частное от деления на абсолютную температуру Т есть полный дифференциал или, другими словами, есть интегрирующий множитель выражения dQ:

причем функция S называется энтропией.

Начало I, в силу первой из формул (59), дает нам

откуда

Значки Т и v означают те переменные, которые считаются постоянными при указанном дифференцировании.

Точно так же начало II дает

откуда

или

Сравнивая уравнения (67) и (68), находим

Переходя опять к случаю идеального газа, мы заключаем отсюда

С другой стороны, уравнение (66) дает

На основе экспериментальных данных считают, что:

III. Величина — теплоемкость идеального газа при постоянном давлении есть величина постоянная, а потому и есть также величина постоянная.

Из (71) следует, что и, обозначив для краткости

где мы без труда найдем окончательно, в силу формул (66) и (71):

после чего формула (59) дает следующее выражение для :

При изотермическом процессе температура остается постоянной, т. е. и

т. е. все поглощаемое тепло идет на работу давления, и полное изменение количества поглощенного тепла при переходе от объема к объему будет

График процесса при постоянной температуре называется изотермой. Адиабатическим процессом называется процесс, совершающийся без притока или утери тепла. Он характеризуется условием

или постоянством энтропии в частице газа или во всем его объеме. Энтропию можно определить из формулы (74):

так что адиабатический процесс характеризуется условием

или, переходя от логарифмов к основаниям

или, возвышая в степень

и так как то окончательно

Наконец, при постоянном объеме мы имеем и

если газ переходит от температуры Т, к температуре