217. Дополнительные замечания.

Возьмем обобщенное уравнение теплопроводности

которое получается, если учесть лучеиспускание со всей поверхности стержня в окружающее пространство, температура которого принимается равной нулю.

Легко проверить, что уравнение (42) простой подстановкой

приводится к уравнению (5) для u.

Неоднородное уравнение

в случае неограниченного стержня при нулевой начальной температуре, т. е. при условии для имеет решение вида

Оно может быть получено или тем же методом, который мы применяем в [187] к неоднородному волновому уравнению, или суперпозицией основного сингулярного решения (13), в котором мы заменяем и после умножения на интегрируем по от до и по от до Физический смысл этих операций очевиден. Решение уравнения (43) получается путем суперпозиции источников, которые размещены по всему стержню с интенсивностью , причем такой источник начинает действовать с момента времени т. Производится суперпозиция таких источников и по времени.

Применение метода Фурье в двумерном и трехмерном случае проводится совершенно так же, как и для волнового уравнения, но только множитель, зависящий от времени, в рассматриваемом случае есть показательная функция.

Так, например, для уравнения

в случае прямоугольной пластинки мы имеем решение в виде

причем мы поставили в показателе с тем, чтобы пользоваться формулами из [190]. Пусть имеется предельное условие на (С) и начальное условие при Решение представляется рядом

где определяется формулой (113) из [190] и первой из формул (114).

В случае круглой пластинки [ср. 191] та же подстановка (45) приводит к следующему решению:

причем определяются но тем же формулам, что и и из но формуле (128).