149. Примеры.

1. Уравнение сжатого эллипсоида вращения

может быть написано в параметрической форме в следующем виде:

Координатные линии суть, очевидно, линии пересечения эллипсоида с плоскостями проходящими через ось вращения, т. е. суть меридианы, а координатные линии параллели, получаемые от пересечения эллипсоида плоскостями перпендикулярными оси вращения. Применяя формулы (42) и (50) и принимая во внимание, что суть составляющие вектора , получим

Равенства можно было предвидеть в силу того, что меридианы и параллели суть линии кривизны эллипсоида вращения. Остальные коэффициенты зависят только от параметра v, характеризующего положение точки на меридиане. Главные направления совпадают, очевидно, с касательными к меридиану и параллели. Выражение в данном случае положительно на всей поверхности, т. е. все точки поверхности — эллиптические. Не вычисляя в отдельности главные радиусы кривизны, приведем лишь выражение гауссовой кривизны:

2. Уравнение конуса второго порядка

перепишем в явной форме

Непосредственно дифференцируя, нетрудно получить:

Пользуясь формулами (53), можно определить все коэффициенты форм Гаусса. Отметим лишь, что в данном случае , т. е. все точки поверхности суть параболические точки, и один из главных радиусов кривизны равен бесконечности. Соответствующее главное направление совпадет, очевидно, с прямолинейной образующей конуса.

3. Рассмотрим гиперболический параболоид

В данном случае так что и, следовательно, всякая точка поверхности является гиперболической точкой. Две прямолинейные образующие поверхности дают в данном случае направление асимптот индикатрисы Дюпена, которая состоит из двух сопряженных гипербол. Аналогичное обстоятельство мы будем иметь и для однополого гиперболоида.

4. Обычные прямолинейные координаты, а также сферические и цилиндрические координаты дают простейшие примеры ортогональных координат в пространстве. Укажем еще один пример таких координат. Рассмотрим уравнение поверхности второго порядка, содержащее параметр :

где . Фиксируя точку и освобождаясь от знаменателей, мы будем иметь уравнение третьей степени относительно . Нетрудно показать, что это уравнение имеет три вещественных корня u, v и w, которые заключаются соответственно в границах

Действительно, при больших положительных значениях левая часть уравнения (75) близка к и имеет знак (—), а при значениях , немного больших слагаемое есть большая положительная величина, и левая часть уравнения (75) имеет знак Таким образом внутри промежутка должно существовать такое значение , при котором левая часть уравнения (75) обращается в нуль. Аналогичным образом можно убедиться в существовании корней внутри промежутков Три числа называются эллиптическими координатами взятой точки . В нашем рассуждении предполагается, что все три координаты точки отличны от нуля. В противном случае для получится уравнение ниже третьей степени. Если, например, и у отличны от нуля, то уравнение (75) даст u и v, a w надо считать равным

Исследуем теперь координатные поверхности в эллиптической системе координат. Подставляя в уравнение (75) , где — некоторое число из промежутка получим поверхность

которая очевидно является эллипсоидом, так как, в силу первого из неравенств (76), все три знаменателя в уравнении (77) положительны. Полагая где v — из промежутка получим однополый гиперболоид

так как в данном случае Наконец, при где w — из промежутка получим двуполый гиперболоид

Покажем, что полученные три координатные поверхности взаимно ортогональны. Вычитая почленно уравнения (77) и (78), получим

Направляющие косинусы нормалей к поверхностям (77) и (78) соответственно пропорциональны [I, 160]:

и равенство (80) выражает условие перпендикулярности этих нормалей, т. е. дает доказательство ортогональности поверхностей (77) и (78). Точно так же можно доказать взаимную ортогональность и других координатных поверхностей. Пользуясь теоремой Дюпена, мы можем утверждать, что два семейства линий кривизны на эллипсоиде (77) (при фиксированном и) получатся в результате пересечения этого эллипсоида со всевозможными гиперболоидами из семейств (78) и (79).