134. Эвольвента.

Сама кривая (L) по отношению к своей эволюте называется эвольвентой. Из свойств эволюты нетрудно получить правило построения эвольвенты по заданной эволюте. Если С — переменная точка на длина дуги этой кривой, то, откладывая на касательной к в точке С в отрицательном направлении отрезок , где а — некоторая постоянная, получим геометрическое место (L) концов М. Нетрудно показать, что это геометрическое место и будет искомой эвольвентой (рис. 102).

Рис. 102.

Чтобы обнаружить это, достаточно доказать, что отрезок СМ будет служить нормалью к кривой (L). Пусть, как и выше, — радиусы-векторы кривых (L) и единичный вектор касательной к По построению

откуда, дифференцируя по

Отсюда видно, что вектор параллельный касательной к в то же время параллелен вектору т. е. параллелен нормали , а отсюда следует, что касательная СМ к есть нормаль к (L).

Мы можем придавать произвольное значение постоянной а в формуле , а потому можем получить бесчисленное множество эвольвент для заданной эволюты. Из самого способа построения следует, что любые две эвольвенты будут иметь общие нормали и что отрезок нормали между этими двумя эвольвентами будет сохранять постоянную длину, равную разности значений постоянной а, соответствующих взятым эвольвентам. Такие две кривые называются параллельными кривыми.