132. Операция дифференцирования для случая переменного поля.

Положим, что мы имеем в пространстве некоторое скалярное поле или векторное поле , причем в обоих случаях это поле меняется с течением времени, т. е. в каждой точке величина скаляра или вектор суть функции времени t. Положим, кроме того, что все пространство находится в движении, которое характеризуется полем вектора скорости v. Последний вектор мы также считаем зависящим от времени.

Будем следить за изменением величины U с течением времени. Мы можем сделать это двояким образом.

1. Фиксируя свое внимание на определенной течке пространства, мы будем определять скорость изменения величины U в этой точке пространства.

Таким образом мы придем к частной производной которую можно назвать локальной производной, поскольку мы связываем себя с определенным местом пространства.

2. Иначе мы можем определить скорость изменения величины U, фиксируя свое внимание на определенной частичке движущейся среды (субстанции). При этом мы должны, дифференцируя по времени, принимать во внимание и движение самих точек среды, т. е. мы должны дифференцировать величину U не только непосредственно по t, но также и через посредство координат точки М Мы приходим в этом случае к полной производной или, как иначе говорят, к субстанциональной производной:

что можно переписать в следующей сжатой форме:

Мы уже имели пример субстанциональной производной в [126], где мы рассматривали полную производную по времени от плотности частицы движущейся непрерывной среды.

Точно так же для переменного вектора в движущейся среде будет иметь место формула

или

где символ имеет следующее значение:

В формулах (114) и (115) первое слагаемое, т. е. частная производная по времени, характеризует изменение величины в данном месте, а второе слагаемое является результатом движения самой среды.

Мы установим теперь некоторые формулы для дифференцирования интегралов по областям, связанным с движущейся средой. В данном случае зависимость величины интеграла от времени будет иметь место как вследствие того, что подынтегральная функция зависит от t, так и потому, что область интегрирования меняется с течением времени. Мы можем здесь при вычислении производной по t считать эту двоякую зависимость от t за зависимость 01 двух переменных и применить правило дифференцирования сложных

функций [I, 69]. Дело по существу приведется к принципу наложения бесконечно малых действий. Производная от интеграла по t будет состоять из двух слагаемых: первое слагаемое, вычисленное в предположении неизменности области интегрирования, определяется простым дифференцированием по t под знаком интеграла [83], а второе слагаемое учитывает лишь эффект от изменении самой области интегрирования, и при его вычислении подынтегральная функция считается неизменной с течением времени.

Переходим к рассмотрению ряда случаев.

1. Пусть некоторый переменный объем и — скалярная функция. Установим формулу для производной

Каждый элемент поверхности (S), ограничивающей область (v), за промежуток времени опишет объем где направление внешней нормали к поверхности (S) [126].

Деля на и добавляя слагаемое, происшедшее от изменения подынтегральной функции, получим выражение производной интеграла в виде

откуда, применяя формулу Остроградского, будем иметь

Заменяя его выражением через согласно формуле (114) и пользуясь формулой

можем переписать формулу (116) в виде

2. Рассмотрим теперь производную от потока переменного вектора поля через движущуюся поверхность

Здесь (S) — некоторая поверхность, связанная с движущейся средой, и определенное направление нормали к (S). Одним из слагаемых в искомом выражении производной будет

Определим теперь второе слагаемое, происходящее от движения самой поверхности (S). Пусть контур этой поверхности и направленный

элемент этого контура, причем в дальнейшем мы определим направление контура (l) (рис. 94). За промежуток времени поверхность (S) опишет объем , ограниченный тремя поверхностями: положением поверхности (S) в момент t, положением поверхности (S) в момент и поверхностью (S), описанной контуром за промежуток времени

Элемент площади поверхности (S) будет

Рис. 94.

Пусть направление нормали на взятое в одну и ту же сторону, а именно положим, что на оно направлено вовне объема . Обозначим также через направление нормали к (S), внешней для и придадим такое направление, чтобы на (S) имели ту же ориентировку, что и координатные оси. При этом очевидно

так что формула Остроградского дает нам

Знак перед интегралом поставлен в силу того, что на нормаль направлена внутрь . Но, как известно [117],

где проекции на направление и, следовательно, по формуле Стокса

Разбивая объем на элементарные объемы где элемент площади поверхности мы получим из формулы (119):

Деля обе части на и переходя к пределу, мы будем иметь то слагаемое в выражении производной, которое происходит от движение поверхности (S). Прибавляя еще слагаемое (118), получим окончательно

Если (S) есть замкнутая поверхность, то в выражении производной будет отсутствовать член, содержащий и соответствующая этому Случаю формула непосредственно вытекает из (116). Действительно, переменный объем, ограниченный замкнутой поверхностью

Пользуясь формулой Остроградского и (116), получим

3. Рассмотрим теперь производную от циркуляции переменного вектора по движущейся кривой

Одним из слагаемых в искомом выражении, как всегда, будет

Определим теперь добавочное слагаемое, происходящее от движения самой кривой. За промежуток времени кривая опишет поверхность (65), ограниченную четырьмя линиями (рис. 95): кривой , которая является положением линии в момент времени кривой которая дает положение линии в момент ; наконец, кривыми которые опишут концы и кривой за промежуток времени Формула Стокса дает

причем интегрирование по производится в направлении от - направление нормали к такое, что на векторы имеют ту же ориентировку, что и оси.

Рис. 95.

Интегралы по малым кривым можно заменить одним элементом, т. е. произведением величины подынтегральной функции на длину пути интегрирования. Мы получим для них скалярные произведения вектора А на малое перемещение :

где знак поставлен ввиду того, что по кривой интегрирование производится от т. е. противоположно V, и значки наверху показывают, что значение соответствующих величин надо брать в точках .

Элемент площади поверхности будет

и нормаль к поверхности будет иметь направление вектора так что, очевидно,

и формула (122) дает

Деля обе части на переходя к пределу и добавляя слагаемое (121), получим искомое выражение для производной, причем вместо мы пишем просто :

Если кривая замкнутая, то внеинтегральиые слагаемые пропадут, и мы получим

Эту формулу можно просто вывести, преобразуя криволинейный интеграл по формуле Стокса и применяя затем формулу (120).

Рассмотрим еще циркуляцию скорости вдоль некоторого движущегося контура Согласно формуле (123)

Составляющая вектора по оси OX будет

Раскрывая скобки и прибавляя и вычитая можем написать:

и, пользуясь (115), нетрудно получить отсюда

где w — вектор ускорения. Подставляя в (125), будем иметь

ибо, очевидно,