20. Примеры.

1. Рассмотрим систему

Сокращая уравнение

на получим уравнение с отделенными переменными и, интегрируя, будем иметь

что равносильно

Напишем второе уравнение системы

и, пользуясь уже найденным интегралом, заменим в нем . Сокращая на , получим

Интегрируя, имеем

или, заменяя получим второй интеграл системы

Итак, мы имеем два интеграла системы

2. Система дифференциальных уравнений движения материальной точки массы m под влиянием заданной силы имеет вид

где проекции силы на координатные оси, зависят от времени, положения точки и ее скорости, т. е. от переменных

Вводя новые неизвестные функции — производные от по t, приведем систему (44) к системе шести уравнений первого порядка

Общее решение этой системы содержит шесть произвольных постоянных, для определения которых должны быть заданы положение точки и ее скорость в начальный момент времени.

Из равенств (44) вытекают следующие три равенства:

которые, как нетрудно видеть, можно переписать так:

Положим, что сила центральна, т. е. что ее направление всегда проходит через некоторую неподвижную точку, называемую центром, которую мы принимаем за начало координат. Так как проекции вектора пропорциональны его направляющим косинусам, и в данном случае направление вектора проходит через начало координат и точку , то будем иметь

правые части равенства (47) обратятся в нуль, и мы получим три интеграла системы (46)

Они выражают, как известно из механики, постоянство секториальной скорости проекций движущейся точки на координатные плоскости.

Из равенств (48) вытекает

откуда видно, что траектория будет плоской кривой. Плоскость траектории определяется, очевидно, центром сил и вектором скорости в начальный момент времени.

Рассмотрим еще случай, когда - частные производные некоторой функции U, зависящей от . Функция U называется потенциалом сил, а потенциальной энергией точки

Умножая уравнения

на и складывая получим

или

откуда получаем интеграл

где

есть кинетическая энергия точки.

Равенство (53) выражает постоянство суммы кинетической энергии Т и потенциальной во все время движения.

3. Представим себе систему точек, связанных между собою такими связями, что координаты любой точки системы определяются как функции независимых параметров и времени

Положим, что силы, действующие на точки системы, имеют потенциал V, зависящий только от координат точек, так что проекции на координатные оси силы, действующей на точку, суть частные производные U по Пусть массы наших точек. При помощи равенств (55) мы можем выразить кинетическую энергию

через и производные по времени через , и движение системы будет определяться, как известно из механики, следующими уравнениями Лагранжа:

Функция T есть, очевидно, многочлен второй степени относительно производных от параметров по времени, и уравнения (57) представляют собою k уравнений второго порядка, что равносильно уравнениям первого порядка; интегрирование уравнений (57) даст выражения в виде функций от произвольных постоянных.

Положим, что уравнения (55) не содержат t. Тогда Т и U также не будут содержать t. Умножим уравнения (57) соответственно на и сложим

Примем во внимание очевидное равенство

В рассматриваемом случае Т — однородный многочлен и

в силу теоремы Эйлера об однородных функциях Отсюда

и формула (58) дает

откуда получается интеграл системы (57) (интеграл сохранения энергии)

4. Наличие интеграла дифференциальных уравнений движения системы позволяет в некоторых случаях решить вопрос об устойчивости колебаний системы около положения равновесия. Формулируем вопрос математически, ограничиваясь для краткости рассуждений случаем трех неизвестных функций , удовлетворяющих системе дифференциальных уравнений

где X, Y, Z - известные функции от и t, обращающиеся в нуль при

Система (61) имеет при этом очевидное решение (62), которому соответствует положение равновесия. Это положение равновесия (или просто решение (62)) называется устойчивым, если при любом заданном существует такое что для всякого решения системы (61), удовлетворяющего начальным условиям

будет при всех

если только

Положим, что система (61) имеет интеграл

не содержащий t и такой, что функция имеет при максимум или минимум.

Докажем, что при этом положение равновесия будет устойчивым. Изменяя, если надо, знак мы можем считать, что имеет минимум; прибавляя к постоянную, можем считать, что этот минимум равен нулю.

Итак, функция обращается в нуль в точке и положительна во всех точках , близких к (0, 0, 0), но отличных от нее. Построим около начала координат куб с центром в начале и длиной сторон . На поверхности этого куба непрерывная функция положительна и, следовательно, достигает своего наименьшего положительного значения , так что на всей этой поверхности

Построим теперь около начала координат концентрический куб с длиной сторон так, чтобы внутри этого куба имело место неравенство

что возможно, ибо Положим, что в начальный момент точка находится внутри куба , т. е. выполнено условие (64). Неравенство (67) будет выполняться не только в начальный момент, но и во все время движения. Действительно, в силу (65), сохраняет постоянное значение С при движении. Но раз это так, то во все время движения точка не сможет пройти через поверхность куба , ибо на этой поверхности должно иметь место неравенство (66), которое, противоречит (67); итак, условие (63) выполняется при всех что и требовалось доказать.

Функции могут иметь любое геометрическое или механическое значение, и лишь для наглядности доказательства мы рассматривали их как координаты точки. Положим, например, что в уравнениях (57) Т и U не содержат времени так что имеет место интеграл (60). Пусть при значениях выполнены необходимые условия экстремума

Уравнения (57) имеют при этом очевидное решение:

которому соответствует положение равновесия системы. Если, кроме того, окажется, что при значениях потенциальная энергия имеет минимум, то можно утверждать, что разность при значениях (68) также имеет минимум, ибо при этом , которое не может быть отрицательным, обратится в нуль, т. е. тоже имеет минимум. Таким образом, мы видим, что в случае минимума потенциальной энергии соответствующее положение равновесия будет устойчивым в отношении величин (теорема Лагранжа-Дирихле).