§ 5. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ПО ТЕОРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

50. Метод последовательных приближений для линейных уравнений.

Мы уже несколько раз упоминали о теореме существования и единственности для дифференциальных уравнений. Приведем доказательство этой теоремы сначала для случая линейных дифференциальных уравнений. Для доказательств мы применим так называемый метод последовательных приближений, которым мы уже пользовались для приближенного вычисления корней уравнений [I, 193].

Для определенности рассмотрим систему двух линейных однородных уравнений

и начальные условия

Будем считать, что коэффициенты уравнении (I) суть непрерывные функции в некотором конечном замкнутом промежутке содержащем начальное значение и в дальнейшем изложении мы считаем, что принадлежит

Решения у и z системы (1) должны быть, конечно, непрерывным: функциями, имеющими производную, и из самих уравнении видно, что и производные и будут непрерывными функциями [1]. Интегрируя уравнения (1) почленно от до и принимая во внимание (2), получим

Здесь мы для отчетливости выписали аргументы у функции , а переменную интегрирования обозначили через t, чтобы не путать ее с верхним пределом интегрирования Итак, уравнения (I) с начальными условиями (2) приводят нас к уравнениям (3).

Покажем теперь, наоборот, что если непрерывные функции удовлетворяют уравнениям (3), то они удовлетворяют уравнениям (1) и начальным условиям (2). Действительно, полагая в уравнениях и принимая во внимание, что интеграл с одинаковыми пределами равен нулю, получим начальные условия (2), а дифференцируя уравнения (3) по получим уравнения и сказанного следует, что уравнения (3) в указанном смысле равносильны уравнениям (1) с начальными условиями (2), и в дальнейшем мы будем рассматривать лишь уравнения (3). Отметим, что в этих уравнениях искомые функции входят как в левую часть, так и под знак интеграла в правую часть.

Выясним идею метода последовательных приближений. Считая начальные значения и z первыми приближениями к искомым функциям у и заменяем в правых частях уравнении (3) у и z на Таким образом, получим функции

являющиеся вторым приближением к у и . Эти функции очевидно, непрерывны в вышеупомянутом промежутке . Заменяя теперь в правых частях уравнений (3) на на , получим третье приближение и

причем и опять непрерывны в промежутке I и т. д. Общая формула, дающая приближение, будет

В промежутке I коэффициенты уравнений (I) суть, по услопию, непрерывные функции, а потому в этом промежутке они будут по абсолютной величине не больше некоторого определенного положительного числа :

Обозначим, кроме того, буквой наибольшее из двух положительных чисел , т. е.

В дальнейшем мы будем рассматривать лишь часть промежутка , лежащую справа от , т. е. будем считать . Рассмотрение левой части может быть сделано так же.

Оценим разности между соседними последовательными приближениями. Первая из формул (4) дает

Заменяя под интегралом все величины абсолютными значениями и большими величинами, в силу (6) и (7) получим [I, 95]

то есть

и совершенно так же

Первое из уравнений будет

вычитая из него почленно первое из уравнений (4), получим

или

Заменяя опять под интегралами все величины абсолютными значениями пользуясь (6), (8) и , получим

откуда окончательно

Совершенно так же

Далее, берем первые из уравнений (5) при . Почленно вычитая, получим

Пользуясь (6), (9) и , как и выше, будем иметь

откуда

Продолжая так и дальше, можем написать общие оценки разности двух соседних приближений

Пользуясь этими оценками, нетрудно показать, что функции равномерно стремятся к некоторым предельным функциям при беспредельном увеличении значка . Докажем это для последовательности функций Эту последовательность мы можем заменить бесконечным рядом

у которого сумма первых членов равна и мы должны, таким образом, доказать равномерную сходимость ряда (11) [1, 144]. Если I есть длина промежутка I, в котором меняется , то первая из формул (10) показывает, что члены ряда (11) по абсолютной величине не превосходят положительных чисел

а ряд, составленный из этих чисел, сходится по признаку Даламбера, так как отношение последующего члена к предыдущему, равное стремится к нулю при беспредельном возрастании . То же следует и из разложения е [I, 129]. Таким образом, согласно признаку Вейерштрасса [I 147], ряд (11) равномерно сходится в промежутке , т. е. в этом промежутке равномерно стремятся к некоторой функции Совершенно так же можно доказать, что и последовательность равномерно стремится в к некоторой предельной функции имеет место равномерное по отношению стремление к пределу:

Функции непрерывны в I и, следовательно, то же можно утверждать и относительно предельных функций Отметим, что для части промежутка лежащей слева от мы должны в правых частях неравенств (8) и заменить

на . В дальнейших оценках надо будет ваменить и т. д. Неравенства (10) останутся справедливыми для всего промежутка I при условии замены абсолютным вначениещ этой разности.

Докажем теперь, что предельные функции удовлетворяют уравнениям (3), т. е. уравнениям (1) и предельным условиям (2). Это непосредственно вытекает из формул (5), если в обеих частях этих уравнений перейти к пределу при . Тогда будут стремиться к , и в пределе для получим уравнения (3). Проведем строго этот предельный переход. Из (12) следует

Докажем, что эти предельные переходы имеют место равномерно по отношению к t в промежутке Ограничимся первой формулой. Оценим разности между пределом и переменной:

В силу равномерного стремления при любом заданном существует число N, одно и то же для всех t из I такое, что

Отсюда, в силу (6), следует, что при любых t из имеет место при неравенство

что и доказывает равномерное стремление к пределу в формулах во всем промежутке любой его части . Обращаемся к формулам (5) и пользуемся возможностью перехода к пределу под знаком интеграла для равномерно сходящихся последовательностей [I, 146]. Переходя к пределу, получаем из этих формул уравнения (3) для .

Резюмируя, можем сказать, что метод последовательных приближений дал нам решение системы (1) при начальных условиях (2), т. е. мы доказали существование решения. Покажем теперь, что искомое решение единственно. Пусть уравнения (3) имеют два решения: . Подставляя в уравнение (3) сначала одно, а потом

другое решение и вычитая почленно, будем иметь

Возьмем справа от промежуток такой длины чтобы произведение было меньше единицы. Докажем, что в этом промежутке упомянутые два решения совпадают. Если бы это было не , то абсолютные значения разностей

имели бы в положительный максимум, который мы обозначим числом 3. Пусть он достигается, например, первой разностью в точке

и

Рассмотрим первое из уравнений (13) при . Оценивая интеграл, как это мы делали выше, получим, в силу (14,),

откуда, пользуясь (14), а также тем, что S, принадлежит промежутку

а последнее неравенство нелепо, ибо, по условию,

Итак, нами доказано, что решения у, z и К, Z должны совпадать на промежутке , где Выбирая значения при и качестве начальных условии, повторяем доказательство единственности для промежутка , где . Покрывая, таким образом, часть промежутка лежащего справа от несколькими промежутками длины или меньшей (последний из покрывающих промежутков), можем утверждать совпадение решений на всей части , лежащей справа от Аналогично поступаем и для части, лежащей слева от Формулируем теперь окончательный результат: система (1) при начальных условиях (2) имеет одно определенное решение, которое существует в промежутке I, в котором коэффициенты системы (I) непрерывные функции, и это решение может быть получено по методу последовательных приближений.

Отметим, что при вычислении первого приближения можем в формулах (4) заменить под знаком интеграла

любыми функциями непрерывными на промежутке Все последующее доказательство сохраняется. Не останавливаясь на доказательстве, приведем две оценки для абсолютного значения разностей при :

Для использования второй оценки надо знать оценку квадратной скобки, стоящей под знаком интеграла.

Указанный выше результат, касающийся существования и единственности решения, а также сходимости метода последовательных приближений, справедлив и в том случае, когда есть открытый промежуток ибо, в силу указанного выше, мы будем иметь существование и единственность решения во всяком конечном замкнутом промежутке содержащем значение и принадлежащем промежутку .

Мы могли бы рассматривать и неоднородную систему, т. е. прибавить к правым частям уравнений (1) функции непрерывные в промежутке или общую линейную систему уравнений с искомыми функциями

Предыдущее доказательство при этом остается в силе.

Линейное уравнение второго порядка

может быть написано в виде системы, если ввести, кроме у, искомую Функцию z = y:

и таким образом высказанный выше результат справедлив и для уравнения (15) при начальных условиях

в промежутке l непрерывности коэффициентов р(х) и q(x)

Пользуясь условиями (16), можем переписать уравнение (15) в виде

причем двукратный интеграл можно заменить простым по формуле (22) из [17]. Равенство (17) дает возможность применять метод последовательных приближений к уравнению (15) и не приводя этого уравнения к системе.

Пример. Применим метод последовательных приближений к примеру, рассмотренному нами в [46]:

Нозьмем начальные условия . Уравнение (17) в данном случае будет

Подставлял справа , получим второе приближение

Третье приближение будет

Переходя к пределу, получим степенной ряд

который мы имели в (46]. Коэффициент есть непрерывная функция на бесконечном промежутке , и написанный ряд сходится в этом промежутке. Это легко проверить, пользуясь признаком Даламбера [I, 121].