59. Вычисление двукратного интеграла.

Рассматривая двукратный интеграл как объем, мы сможем вывести способ приведения вычисления двукратного интеграла к двум простым квадратурам. Отнеся плоскость, на которой находится область к прямоугольной системе координат ХОY, допустим, что элементы Да улучаются путем разбиения площади на прямоугольники со сторонами и прямыми параллельными координатным осям (рис. 34), и пусть координаты точки При этом естественно писать

и

Рис. 34.

С другой стороны, применяя сказанное в [57] относительно выражения объема через повторный интеграл, можем написать

что и дает правило для вычисления двукратного интеграла, независимо от геометрического значения функции

Если первое интегрирование совершается по у, то при этом Считается постоянным, а пределы и суть функции от определяемые по формулам (2) [57]. Аналогичное обстоятельство имеет место, если первое интегрирование совершается по Пределы при первом интегрировании в повторном интеграле будут определенными постоянными, не зависящими от переменной второго интегрирования, лишь в том случае, когда область интегрирования есть прямоугольник со сторонами, параллельными координатным осям. Если (а) есть прямоугольник, ограниченный прямыми (рис. 35):

то

Выражение называется элементом площади в прямоугольных координатах.

Заметим, что в формуле (7) первое интегрирование по у при постоянном соответствует суммированию по прямоугольникам, содержащимся в полосе, параллельной оси ОY, причем все эти прямоугольники имеют одну и ту же ширину кото рая выносится за знак первого интегрирования. Второе интегрирование по соответствует сложению всех сумм, полученных при суммировании по полоскам, параллельным оси ОY. В последнем параграфе настоящей главы мы даем точное обоснование формул (8) и (7).

Рис. 35.

Если прямые, параллельные осям, пересекают границу (а) более чем в двух точках, то надо поступать так, как это указано в [57].

Здесь и в дальнейшем мы, конечно, предполагаем, что интегралы, о которых идет речь, существуют. Для этого достаточно, чтобы подынтегральные функции были непрерывны в (а) вплоть до ее границы, что мы и будем предполагать, а область (а) удовлетворяла условию, о котором будет сказано при обосновании понятия интеграла.

Отнесем теперь площадь (а) к полярным координатам Уравнение поверхности (S) нужно будет тогда написать в виде .

Элементы Да получим, начертив семейство линий , т. е. концентрических окружностей и лучей, проходящих через начало координат (рис. 36). В частности, при пересечении двух окружностей радиусов и лучей, идущих под углами , образуется криволинейная фигура , которую, с точностью до бесконечно малых высшего порядка, можно рассматривать как прямоугольник со сторонами так что

тогда можно написать

Мы получили здесь двукратный интеграл, подынтегральная функция которого есть . Для его вычисления можно применить

то же правило приведения к повторному интегралу, но только здесь роль х и у играют

Первое интегрирование по при постоянном соответствует суммированию по элементам До, содержащимся между двумя лучами причем выносится за знак первого интегрирования. Второе интегрирование по соответствует сложению всех сумм, полученных при первом суммировании. Применяя упомянутое правило, мы прежде всего отмечаем крайние значения а и аргумента ср (в [67] крайние значения х), затем при фиксированном радиусы-векторы точек входа внутрь (а) и выхода из (а) луча (это соответствует определению в [57]). Определив эти данные, имеем

где известные функции

Рис. 36 соответствует тому случаю, когда начало координат лежит вне контура

Рис. 36.

Рис. 37.

Если же начало лежит внутри контура то можно считать, что меняется от 0 до и что при заданном значении меняется от 0 до где получается из уравнения кривой , что дает (рис. 37)

Выражение

называется элементом площади в полярных координатах.

В частности, если мы получаем выведенное в выражение для площади кривой в полярных координатах:

(Формула из [I, 102] соответствует случаю ).

Пример. Вычислим объем, заключенный между шаром радиуса а и прямым круговым цилиндром радиуса проходящим через центр шара (рис. 38). За начало координат примем центр шара, плоскость XOY выберем перпендикулярно к оси цилиндра и ось ОХ проведем от центра шара к точке пересечения оси цилиндра с плоскостью XOY.

Рис. 38.

В силу симметрии можем сказать, что искомый объем будет равен учетверенному объему части цилиндра, ограниченной плоскостями ZOX, XOY и верхним полушарием.

Областью интегрирования будет здесь половина основания цилиндра, контур которой состоит из полуокружности

и отрезки оси ОХ, причем угол меняется от 0 до и соответствующий луч — от оси ОХ к оси ОY

Уравнение поверхности шара

в нашем случае перепишется в виде

Поэтому искомый объем будет