162. Сходимость в среднем.

Введем в классе сходимость в среднем.

Определение. Говорят, что последовательность функций из Z, сходится в среднем к из или просто сходится в к функции если

Мы будем записывать это кратко так:

Если под знаком интеграла мы заменим эквивалентной функцией, то интеграл не изменится, т. е. если сходятся в то они сходятся и ко всякой функции, эквивалентной . В дальнейшем мы будем отождествлять эквивалентные функции, т. е. класс эквивалентных функций из будем считать за одну функцию. Докажем единственность предела в при такой точке зрения.

Теорема 5. Если , то эквивалентны. Применим к правой части очевидного равенства

формулу (61):

При правая часть стремится к нулю, а левая не зависит, от , и потому

откуда следует, что функция эквивалентна нулю на Е, т. е. и g эквивалентны. Установим необходимое и достаточное условие того, что последовательность функций из имеет предел в Это условие аналогично условию Коши существования предела для числовой последовательности. Предварительно введем определение.

Определение. Говорят, что последовательность функций из сходится в себе в если для любого заданного существует такое N, что

Теорема 6. Для того чтобы последовательность из сходилась в к некоторой функции из необходимо, чтобы последовательность сходилась в себе в

Дано, что сходится в к некоторой функции f. Применяя к правой части очевидной формулы

неравенство (61), получим

При заданном силу сходимости последовательности существует такое N, что при интегралы, стоящие под

радикалами в правой части неравенства и (63) получается непосредственно из (64). Большое принципиальное значение имеет обратная теорема, которую мы докажем в том случае, когда мера Е конечна. Она может быть затем распространена и на случай множества Е бесконечной меры.

Теорема 7. Для того чтобы последовательность из на множестве Е конечной меры сходилась к некоторой функции из достаточно, чтобы последовательность сходилась в себе в .

Дано, что сходится в себе, и отсюда следует, что существует бесконечная возрастающая последовательность целых положительных чисел такая, что

Применяя неравенство (60) при получим

или, в силу (65),

откуда следует сходимость ряда

и, в силу теоремы из [109], ряд

сходится почти везде на Е. Тем более почти везде сходится ряд

сумма первых членов которого равна т. е. почти везде на Е последовательность функций

стремится к некоторой предельной функции имеющей почти везде на Е конечные значения. Покажем, что и что . В силу сходимости последовательности в себе для любого

заданного существует такое N, что

При в силу теоремы из [109], получим

откуда следует, что , а потому, в силу теоремы из . Неравенство (66) показывает, наконец, что . Из двух последних теорем следует, что сходимость в себе в является необходимым и достаточным условием того, что последовательность сходится в к некоторой функции. Теорема 8. Если то

Вводя для любых двух функций из обозначение

можем записать неравенство (60) в виде

Положим

По условию, при Составим разность

откуда, применяя (68), получим

При правая часть стремится к нулю, откуда совпадает с (67).