203. Формула Грина.

Пусть (D) — некоторое ограниченное тело, (S) — его поверхность, U и V — две функции, непрерывные и имеющие непрерывные производные до второго порядка в области вплоть до его поверхности (S). Рассмотрим интеграл

Применяя очевидное тождество

и два аналогичных тождества для и можем переписать интеграл в виде

Преобразуем первое из слагаемых в правой части по формуле Остроградского

или

где — направление нормали в точках поверхности (S), внешней по отношению к телу (D).

Таким образом мы приходим к так называемой предварительной формуле Грина

Левая часть этого равенства не меняется при перестановке функций U и V, а потому то же относится и к правой части, т. е. мы можем написать

откуда и получается формула Грина в окончательной форме

Иногда пользуются не внешней, а внутренней нормалью. При этом надо только изменить зиаки у производных по нормали в правой части формулы, и для случая внутренней нормали формула Грина будет выглядеть так

где — направление нормали внутрь (D).

Область (D) может быть ограничена и несколькими поверхностями (S). Формула Грина применима и в этом случае, но только поверхностный интеграл, стоящий в правой части этой формулы, надо брать по всем поверхностям, ограничивающим область (D). Заметим, что при этом нормаль , внешняя по отношению к объему (D), будет на поверхностях, ограничивающих этот объем изнутри, направлена внутрь поверхностей.

Как мы упоминали, при выводе формулы Грина (6) достаточно потребовать, чтобы функции были непрерывны вместе с производными до второго порядка вплоть до (S). Необходимо, конечно,

предъявить некоторые требования и к поверхности (S). Можно при этом сослаться на те условия, при которых была выведена формула Остроградского [66]. Эти условия сводились к следующему: поверхность (S) может быть разбита на конечное число кусков так, что на каждом куске, вплоть до его границы, имеется непрерывно меняющаяся касательная плоскость. Такие поверхности называются обычно кусочно-гладкими. Ребра поверхности, являющиеся границами упомянутых кусков, должны быть кусочно-гладкими линиями. Это условие, налагаемое на поверхность, может быть выражено и в аналитической форме.

Следствием формулы Грина является важная в приложениях формула, дающая выражение значения функции в любой точке внутри в виде суммы некоторого поверхностного и некоторого объемного интеграла. Пусть функция, определенная в области (D) и непрерывная с производными до второго порядка вплоть до (S).

Рис. 133.

Применим формулу Грина к этой функции и к функции где — расстояние от определенной точки лежащей внутри (D), до переменной точки М. Функция обращается в бесконечность, если точка М совпадает с и мы не можем применять формулу Грина ко всему телу (D). Выделим из этого тела малую сферу с центром и малым радиусом и обозначим через оставшуюся часть тела (D) и через поверхность выделенной сферы (рис. 133).

В области функции U и обладают требуемым свойством непрерывности, и, применяя к этой области формулу Грина, мы получим

причем интегрирование совершается по обеим поверхностям (S) и ограничивающим тело . Но, как мы видели, функция удовлетворяет уравнению Лапласа, т. е. Кроме того,

на сфере нормаль направлена внутрь сферы прямо противоположно направлению радиуса , так что производная по нормали под знаком интеграла по есть взятая с обратным знаком производная по . Принимая во внимание все сказанное, мы можем переписать формулу (7) в виде

Будем теперь стремить радиус выделенной сферы к нулю. При этом первое из слагаемых в написанной формуле будет стремиться к объемному интегралу по всему телу (D). Второе слагаемое от не зависит. Покажем, что третье из написанных слагаемых стремится к пределу Принимая во внимание, что на величина имеет постоянное значение , можем написать

Применяя теорему о среднем, будем иметь

где некоторая точка на поверхности сферы . Эта точка стремится к при откуда видно, что написанное выше выражение стремится к . Точно так же применение теоремы о среднем к последнему слагаемому дает

Производные первого порядка функции U по любому направлению при стремлении остаются ограниченными, так как по предположению функция U везде внутри (D) имеет непрерывные производные до второго порядка. Множитель стремится к нулю при . Отсюда видно, что последнее слагаемое в формуле (8) стремится к нулю. Окончательно формула (8) в пределе даст нам

искомое следствие формулы Грина

или

Заметим еще раз, что эта формула справедлива для любой функции U, непрерывной в области (D) вплоть до 5 вместе со своими производными до второго порядка.

Совершенно аналогичные формулы имеют место и для случая плоскости. Мы приведем их, не останавливаясь на их доказательстве. Пусть (В) — некоторая область на плоскости, — контур этой области и — направление нормали к этому контуру, внешней по отношению к (В). Оператор Лапласа для случая плоскости имеет в декартовых координатах вид:

Аналогично формуле (6), мы будем иметь на плоскости формулу

В отношении формулы (9) аналогия не будет полной, а именно при выводе формулы (9) было существенным, что функция удовлетворяет уравнению Лапласа. Для случая плоскости это не будет иметь места, и вместо функции — решение уравнения Лапласа надо будет брать в виде или , где — расстояние от какой-либо постоянной точки плоскости до переменной точки М. Таким образом вместо формулы (9) мы на плоскости будем иметь формулу

где - любая фиксированная точка внутри (В) и — расстояние переменной точки М до точки

Заметим, что тройной интеграл в формуле (9) есть интеграл несобственный, так как подынтегральная функция обращается в бесконечность

в точке . Но этот интеграл, очевидно, сходится, так как подынтегральная функция по абсолютной величине меньше выражения при . Аналогичное замечание имеет место и по отношению к формуле (11).