183. Сосредоточенная сила.

Исследуем формулу (58) для силы, сосредоточенной в одной точке Величину этой силы мы обозначим не через Р, как это мы делали в [176], а через . Как было указано [178], этот случай можно рассматривать как предельный того случая, когда сила действует только на малом промежутке и тем самым равна нулю вне этого промежутка, причем полная величина силы

По формуле (4) имеем

Принимая во внимание, что по условию равна нулю вне промежутка пользуясь первой теоремой о среднем причем предполагается, что знакопостоянна в промежутке

получим

где С есть некоторое значение из промежутка

В пределе, при

и тогда функция определяемая как предел выражения в правой части (58) при обратится в

а вынужденное колебание определится по формуле

Эта формула показывает, что в вынужденных колебаниях могут отсутствовать некоторые обертоны, именно те, для коих

т. е. те, которые имеют узел в точке С приложения силы.

Остановимся на случае гармонически колеблющейся вынуждающей силы, когда нужно будет положить

или, считая для простоты фазу

Формула для дает тогда

Если частота вынуждающей силы не совпадает ни с одной из частот собственных колебаний, все знаменатели отличны от нуля; но если приближается к одной из частот соответствующий знаменатель уменьшается и член становится весьма большим по сравнению с прочими, т. е. происходит явление резонанса. Наконец, если то предыдущее выражение для теряет смысл и должно быть заменено другим.

Подставив полученные выражения в формулу (52), имеем

Первое слагаемое в правой части имеет вид свободных колебаний, второе же имеет ту же частоту, что и возмущающая сила. Отнеся первое слагаемое к свободным колебаниям мы займемся только вторым слагаемым, обозначив его через

или положив

Сумма

может быть вычислена по способу, указанному в [172], но мы, не останавливаясь на этом, укажем другое решение той же задачи, рассматривая сосредоточенную силу не как предельный случай непрерывно распределенной, а непосредственно.

Точка С приложения силы разбивает струну на два участка (0, с) и Рассматривая оба эти куска отдельно, обозначим ординату первого участка через второго же через Для этих функций мы получаем следующие уравнения

так как внешних сил внутри промежутков (0, с) и не имеется. Далее, мы имеем условия закрепления концов:

условие непрерывности струны в точке

и, наконец, условие равновесия сил, действующих в точке х = с [176]:

Мы ограничимся только случаем гармонической силы

и из вынужденных колебаний, ею вызываемых, выделим колебания той же частоты . Эти колебания мы ищем в виде

где, однако, функция должна иметь различные выражения в промежутках (0, с) и и в связи с этим мы положим:

Подставив это в уравнения (61) и мы имеем

то есть

и аналогично

откуда

Условия (62) дают нам

и можно положить

где — произвольная постоянная. Обозначая для симметрии произвольную постоянную через мы получаем

Условие непрерывности (63) дает тогда:

Остается только удовлетворить последнему условию (64), из которого получается

Итак, постоянные определяются из системы уравнений

откуда

и формулы (65) дадут тогда решение задачи в виде:

Читатель проверит без труда тождественность решений (66) и (60) для разлагая (66) в ряд Фурье по синусам.