144. О кривизне линий, начерченных на поверхности.

Вернемся к рассмотрению формулы (48). Ее правая часть зависит от значений коэффициентов двух форм Гаусса и от отношения Последнее обстоятельство станет непосредственно ясным, если разделить числитель и знаменатель на . Упомянутые коэффициенты суть функции параметров и в заданной точке поверхности имеют определенное численное значение. Что же касается отношения то оно, как мы Фидели [141], характеризует направление касательной к кривой. Мы можем поэтому утверждать, что обе части формулы (48) имеют определенное значение, если фиксировать точку на поверхности и направление касательной к той кривой на поверхности, которую мы рассматриваем. Если же взять на поверхности в фиксированной точке две кривые, имеющие не только одинаковое направление касательных, но и одинаковое направление главной нормали, то у таких кривых и угол будет одинаковым, а потому, в силу упомянутой формулы, и величина окажется одной и той же, т. е. мы имеем следующую теорему:

Теорема 1. Две кривые на поверхности с одинаковой касательной и главной нормалью в некоторой точке имеют в этой точке и одинаковый радиус кривизны.

Если на поверхности имеется какая угодно кривая (L) и на ней некоторая точка М, то, проводя плоскость через касательную и главную нормаль к этой кривой в точке мы получим в сечении этой плоскости с поверхностью плоскую кривую имеющую ту же касательную и главную нормаль, что и заданная кривая, а потому и тот же радиус кривизны. Таким образом доказанная теорема Дает возможность сводить изучение кривизны любой кривой на поверхности к изучению кривизны плоских селений поверхности.

Назовем нормальным сечением поверхности в заданной точке М сечение поверхности какой-нибудь плоскостью, проходящей через нормаль поверхности в точке . Мы имеем, очевидно, бесчисленное множество нормальных сечений, причем мы можем фиксировать определенное нормальное сечение, задавая определенное направление касательной в касательной плоскости к поверхности, т. е. фиксируя

величину отношения Заметим, что главная нормаль у нормального сечения или совпадает, или противоположна вектору так что угол равен 0 или и, следовательно,

Рассмотрим какую-нибудь кривую (L) на поверхности и на ней определенную точку М. Назовем нормальным сечением, соответствующим кривой (L) в точке то нормальное сечение в точке которое имеет в этой точке общую касательную с кривой (I). Пусть — радиус кривизны кривой (L) и R — радиус кривизны соответствующего нормального сечения. Так как обе кривые имеют одну и ту же касательную, то правые части в формуле (48) для них одинаковы, и мы можем написать

где — угол между главной нормалью кривой и нормалью к поверхности. Поскольку R и положительны, знак в правой части надо брать совпадающим со знаком Последняя формула приводит к следующей теореме:

Теорема 2 (теорема Менье). Радиус кривизны любой кривой на поверхности в заданной точке равен произведению радиуса кривизны соответствующего нормального сечения на абсолютное значение косинуса угла между нормалью к поверхности в этой точке и главной нормалью к кривой.

Иначе говоря, радиус кривизны любой кривой на поверхности равен величине проекции радиуса кривизны соответствующего нормального сечения, отложенного на нормали к поверхности, на главную нормаль к этой кривой.

Рис. 107.

В случае сферы нормальное сечение есть окружность большого круга, и если мы за кривую (L) возьмем какую-либо окружность, начерченную на сфере, то формула (55) приводит к очевидному соотношению между радиусами двух упомянутых окружностей (рис. 107).

Согласно теореме второй, изучение кривизны кривых на поверхности сводится к изучению кривизны нормальных сечений в заданной точке поверхности. Как мы видели, для нормального сечения в формуле (48) надо считать Согласимся относить знак (—), когда он встретится, к величине , т. е. согласимся считать радиус кривизны нормального сечения отрицательным, если главная нормаль нормального сечения противоположна направлению вектора , т. е. противоположна выбранному направлению нормали к поверхности. При

таком соглашении мы будем иметь для нормальных сечений формулу

Напомним еще раз, что в правой части этой формулы коэффициенты дифференциальных форм имеют определенное значение, так как мы фиксировали некоторую точку на поверхности, и величина зависит лишь от значения отношения т. е. от выбора направления касательной. Знаменатель в правой части формулы (56) имеет всегда положительные значения, так как выражает величину а потому знак кривизны нормального сечения определяется знаком числителя, и могут представиться следующие три случая:

1. Если во взятой точке , то для всех нормальных сечений имеет один и тот же знак, т. е. главные нормали ко всем и нормальным сечениям направлены в одну и ту же сторону. Такая точка поверхности называется эллиптической.

2. Если то будет иметь различные знаки, т. е. во взятой точке поверхности имеются нормальные сечения с противоположным направлением главной нормали. Такая точка поверхности называется гиперболической.

3. Если то при этом числитель в правой части формулы (56) представляет собой полный квадрат, и здесь не меняет знака, но при одном положении нормального сечения обращается в нуль. Такая точка поверхности называется параболической.

Заметим, что в гиперболическом случае трехчлен, стоящий в числителе правой части формулы (56), меняя знак, обращается в нуль, и будут два нормальных сечения с кривизной, равной нулю. В эллиптическом же случае таких сечений не будет.

Введем координатные оси, приняв взятую точку поверхности за начало и поместив оси ОХ и ОY в касательной плоскости, как мы это делали в [142].

В силу формул (54) равенство (56) примет вид

Касательная к нормальному сечению лежит в плоскости ХОY, и отношения и равны соответственно , где угол, образованный касательной с осью ОХ. Таким образом предыдущая

формула принимает вид

В этой формуле мы имеем в явном виде зависимость кривизны от направления касательной, характеризуемого углом . При этом, если то точка будет эллиптической, в случае гиперболической, а в случае параболической.

В случае функция будет иметь в рассматриваемой точке максимум или минимум [I, 163], равный нулю, т. е. поверхность вблизи этой точки будет расположена по одну сторону от касательной плоскости. При не будет ни максимума, ни минимума, т. е. в любом соседстве с рассматриваемой точкой поверхность будет расположена по обе стороны от касательной плоскости. Наконец, в параболической точке, где ничего определенного о расположении поверхности относительно касательной плоскости сказать нельзя.

Из формул (53) непосредственно вытекает, что знак при любом выборе осей XYZ совпадает со знаком и, следовательно, при точка будет эллиптической, при гиперболической и при параболической.

На одной и той же поверхности могут быть точки разных родов. Например, на торе, который получается вращением окружности вокруг оси, лежащей в одной плоскости с окружностью и вне ее [I, 107], точки, лежащие с внешней стороны, будут эллиптическими, а с внутренней стороны — гиперболическими. Эти две области отделяются одна от другой крайними параллелями тора, все точки которых суть параболические точки.