37. Примеры.
1. Рассмотрим уравнение
на промежутке и предельные условия
При 
уравнение не имеет колеблющихся решений [31] и, следовательно, при 
нет решений, имеющих корни 
. Итак, задача может иметь только положительные собственные значения. При этом общий интеграл уравнения (98) имеет вид
где 
можно считать положительным, ибо изменение знака не влияет на величину 
и меняет знак 
причем это изменение знака может быть включено в произвольную постоянную 
. Предельные условия 
дают
Из первого уравнения следует 
и при этом второе уравнение дает 
. Постоянная 
не может равняться нулю, так как при 
получаем нулевое решение 
и, следовательно, для К получаем уравнение 
откуда 
Таким образом, мы получаем бесчисленное множество собственных значений и соответствующих собственных функций: 
, где С — произвольные постоянные. При увеличении к число корней собственных функций на промежутке увеличивается.
Если X — не есть квадрат целого числа, то любая неоднородная задача будет иметь единственное решение. В качестве примера рассмотрим задачу
Общий интеграл уравнения имеет вид
предельные условия дают
откуда
2. Рассмотрим уравнение (98) на промежутке при предельных условиях
Можно проверить, что значения 
не дают решений задачи. Первое из условий дает, как и выше, 
и, подставляя в формулу (99), получаем из второго предельного условия уравнение для 
Полагая 
, получим
Это уравнение имеет бесчисленное множество корней 
и 
соответствуют следующие собственные значения и собственные функции:
Корни у суть абсциссы точек пересечения графика 
и прямой на плоскости 
.
