86. Неабсолютно сходящиеся интегралы.

Признак Коши дает лишь достаточное условие (30) или (34) сходимости несобственного интеграла. Например, он неприменим для неабсолютно сходящихся интегралов, т. е. таких, что

сходится, а интеграл

не сходится. Приведем признак сходимости, применимый и для не абсолютно сходящихся интегралов: если интеграл

при беспредельном возрастании остается ограниченным, то интеграл

будет сходящимся при любом Действительно, интегрируя по частям, получим

или, принимая во внимание, что

При беспредельном возрастании N первое слагаемое правой частя стремится к нулю, ибо по условию остается ограниченным и . Второе слагаемое представляется интегралом, сходящимся по признаку Коши, так как под интегралом числитель по условию остается ограниченным при , а в знаменателе степень х выше единицы. Таким образом существует предел

Примеры. 1, Возьмем интеграл

рассмотренный нами в примере 3 (84]. Заметим, что при подынтегральная функция стремится к так что несобственный характер этого интеграла происходит только от бесконечного предела. Далее очевидно

откуда

т. e. интеграл при любых а и N остается ограниченным, Следовательно, к интегралу (36) применима доказанная теорема, и он сходится. 2. Рассмотрим еще интеграл

Совершая замену переменных приведем его к виду

и совершенно так же, как и в примере 1, докажем, что он сходится. Выясним несколько подробнее причины, обусловливающие сходимость интеграла (37).

Рис. 73.

Подынтегральная функция график которой изображен на рис. 73, даже не стремится к нулю при признак Коши, очевидно, не применим. Разобьем промежуток ) на части:

в каждой из которых функция сохраняет неизменный знак: в первой , во второй (—), в третьей и т. д. Положим

Вводя вместо новую переменную

получим

откуда видно, что числа положительны и убывают при возрастании целого положительного числа п. Кроме того, из неравенства

следует, что при . Из всего сказанного вытекает, что знако

переменный ряд

будет сходящимся [I, 123]. Положим теперь, что

и рассмотрим интеграл

где , так как последний промежуток составляет лишь часть промежутка или даже отсутствует при При и целое число , определяемое неравенством (39), стремится к и из сходимости ряда (38) и равенства (40) вытекает существование несобственного интеграла

В. настоящем случае существование несобственного интеграла обусловливается знакопеременностью подынтегральной функции, а также тем, что последовательные площади, находящиеся над и под осью ОХ, по мере удаления от начала по величине убывают и стремятся к нулю, причем последнее обстоятельство происходит не от того, что их высота стремится к нулю, но от беспредельного суживания этих площадей.

Совершенно так же можно рассмотреть и интеграл (36).

В томе III мы получим следующее значение для интеграла (37):

Написанные интегралы называются интегралами Френеля или интегралами дифракции. Последнее название связано с той ролью, которую играют эти интегралы в оптике.