207. Задача Дирихле для сферы.

Пусть - радиус сферы (2) и заданные предельные значения гармонической функции на поверхности сферы, причем М — переменная точка этой поверхности.

ности. Мы предполагаем, что - непрерывная на поверхности сферы функция.

Рассмотрим какую-либо, но определенную точку внутри (2) и обозначим через расстояние переменной точки пространства М до Наряду с точкой рассмотрим точку лежащую на продолжении радиуса сферы и такую, что (рис. 134)

Рис. 134.

Точка лежащая вне сферы называется иногда симметричной с относительно Обозначим через расстояние переменной точки М до . Если М находится на поверхности (2) в некоторой точке то величины связаны простой зависимостью, которую мы сейчас и выведем. Заметим, что треугольники и подобны, так как они имеют общий угол при вершине О и стороны, образующие эти углы, пропорциональны в силу (39). Из подобия вытекает

откуда

где есть длина радиуса-вектора из центра сферы в точку .

Функция — внутри сферы в бесконечность не обращается, ибо лежит вне сферы, и есть, следовательно, функция, гармоническая внутри сферы [131]. Формула (40) дает предельные значения этой функции на поверхности сферы. Пусть - искомое решение задачи Дирихле. Формула (13) дает

С другой стороны, применяя формулу (6) к гармоническим функциям U и получим

Умножая обе части (42) на постоянное число и вычитая

из (41), мы, в силу (40), исключим

Но значения U на (2) представляют собою заданную функцию и мы можем написать

Формула эта и решает задачу Дирихле для сферы, так как под знаком интеграла стоят известные величины. Преобразуем разность, стоящую в квадратных скобках. Заметим прежде всего, что поверхности суть сферы с центром так что есть вектор длины единица, имеющий направление и, следовательно,

Точно так же

где под знаком косинуса обозначают направления . Это дает

Вводя величину можем написать из треугольников

Определяя отсюда и подставляя в выражение (44), будем иметь, в силу (40) и определения :

и формула (43) может быть переписана в виде

или, если ввести угол у, образованный радиусом-вектором с переменным радиусом-вектором ОМ, угловые сферические координаты ) точки и сферические координаты точки с началом в точке О:

Полученное интегральное представление аналогично интегралу Пуассона в случае плоскости. Для того чтобы показать, что интеграл, входящий в формулу (45), дает гармоническую функцию, достаточно показать, что при фиксированной точке М дробь есть гармоническая функция от Введем сферическую систему координат с началом в точке и с осью Z, направленной от к О, и обозначим, как всегда в сферической системе, При этом и

Подставляя эту разность в уравнение Лапласа, выраженное в сферических координатах, убедимся в том, что упомянутая дробь есть гармоническая функция точки . Докажем теперь, что при любом положении внутри сферы имеет место формула

Введем сферическую систему координат с началом в точке О и с осью Z, направленной из О в причем в данном случае . Интеграл, входящий в формулу будет

или, принимая во внимание, что получим формулу

Дальнейшее доказательство того, что интеграл (45) имеет на сфере предельные значения проводится так же как и в случае интеграла Пуассона.

Решение внешней задачи Дирихле с предельными значениями дается формулой

или

где , но в данном случае . Как и выше, мы убедимся в том, что интеграл формулы (45,) дает гармоническую функцию вне сферы. Для того чтобы убедиться, что предельные значения равны перепишем в виде

где При этом и когда точка стремится к точке лежащей на сфере то стремится к . В силу результата, полученного для внутренности сферы, мы имеем

и, принимая во внимание, что можем утверждать, что и правая часть формулы (46.2) стремится к что мы и хотели доказать. Отметим еще, что в силу стремится к нулю, когда удаляется на бесконечность, т. е. когда Это следует из того, что под знаком интеграла формулы (46,) числитель содержит , а знаменатель имеет, очевидно, порядок .