169. Формула замкнутости.
Из доказанной только что теоремы довольно просто вытекает справедливость формулы замкнутости из [169] для системы тригонометрических функций. Положим сначала, что заданная в промежутке 
функция 
непрерывна и 
.
Продолжая 
вовне этого промежутка по периодичности, получим непрерывную периодическую функцию, и при заданном 
будет существовать тригонометрический полином 
удовлетворяющий неравенству (34).
Из этого неравенства вытекает
Пусть 
— порядок тригонометрического полинома, т. е. значение числа 
в формуле (33). Но при любом выборе тригонометрического полинома порядка не выше 
величина интеграла (38) имеет наименьшее значение 
когда за тригонометрический полином мы выбираем сумму первых 
членов ряда Фурье функции 
Отсюда вытекает, что 
и ввиду того, что положительное 
можно выбирать сколь угодно малым, отсюда следует, что 
которое не увеличивается при возрастании 
, должно стремиться к нулю при 
а это, как известно [169], и равносильно формуле замкнутости для f(x).
Рассмотрим теперь более общий случай, когда 
непрерывна в промежутке 
но ее значения 
неодинаковы.
Как всегда, существует такое положительное число М, что 
при 
. Пусть 
произвольное заданное положительное число и пусть 
— положительное число, удовлетворяющее неравенствам
Построим новую функцию 
по следующему правилу. В промежутке 
функция 
совпадает с 
в промежутке 
график 
есть отрезок прямой, соединяющий точку 
с точкой 
Функция 
есть непрерывная функция в промежутке 
имеющая одинаковые значения 
при 
и мы имеем, очевидно, как и для 
.
В силу доказанного выше, при любом заданном положительном 
можно найти такой тригонометрический полином, что 
Рис. 119.
Принимая во внимание, что 
в промежутке 
имеем
Откуда, принимая во внимание, что
можем написать
или, в силу (39),
Составим интеграл
Принимая во внимание очевидное неравенство 
, можем написать
а отсюда, в силу (40) и (41), следует 
Обозначая через 
порядок тригонометрического полинома 
и рассуждая, как и выше, получим отсюда 
и ввиду произвольной малости 
имеем 
при 
т. е. формула замкнутости имеет место и для 
с указанными выше свойствами. Совершенно так же можно доказать, что формула замкнутости имеет место в том случае, когда 
ограничена в промежутке 
и имеет конечное число точек разрыва. Если все точки разрыва суть точки разрыва первого рода, то не надо оговаривать ограниченности функции. Чтобы провести доказательство, можно выделить точки разрыва достаточно узенькими промежутками и построить новую функцию 
непрерывную в промежутке 
совпадающую с 
вне упомянутых промежутков и имеющую прямолинейные графики внутри этих промежутков. Для 
можно по предыдущему построить тригонометрический полином 
, удовлетворяющий неравенству (40), а упомянутые промежутки можно выбрать настолько узенькими, чтобы гыполнялось неравенство (41). В остальном доказательство проводится, как и выше. Итак, формула замкнутости доказана нами для всех функций, имеющих конечное число разрывов первого рода (или непрерывных). Заметим, что она имеет место и для гораздо более широкого класса функций.
