§ 18. ТЕЛЕГРАФНОЕ УРАВНЕНИЕ
194. Основные уравнения.
Оба изложенных выше способа: характеристик (Даламбера) и стоячих волн (Фурье) с успехом применяются и при исследовании так называемого телеграфного уравнения, которое имеет основное значение в теории распространения квазистационарных электрических колебаний по кабелям.
Пусть имеем цепь, состоящую из прямого и обратного проводников длины
. Мы будем считать, что по всей этой цепи равномерно распределены рассчитанные на единицу длины омическое сопротивление
самоиндукция
емкость С и утечка изоляции А, чем этот случай отличается от разобранного в [I,181], когда мы имели сопротивление, самоиндукцию и емкость сосредоточенными лишь в отдельных точках цепи, а остальными ее частями мы пренебрегали. Обозначим через v и
напряжение и силу тока в сечении цепи на расстоянии
от конца
. Эти функции от
и t связаны двумя дифференциальными уравнениями, которые мы сейчас выведем.
Применяя закон индукции к элементу
цепи, мы должны написать, что падение напряжения в этом элементе
складывается из омического
и индуктивного
, или, разделяя на dx:
Далее, разность между токами, входящим и выходящим из элемента
т. е.
складывается из токов заряжения dx и утечки
, что дает
Весьма важное значение имеют предельные условия, которые должны выполняться на концах цепи. Если конец цепи открыт, то в этом конце мы должны иметь
Вообще, если в конце цепи включена внешняя электродвижущая сила Е, сопротивление
и самоиндукция X, то в этом конце мы должны иметь
В частности, если, например, один конец
поддерживается под напряжением Е, а другой
замкнут накоротко, мы имеем