193. Применение интеграла Фурье.

Рассмотрим волновое уравнение в линейном случае

для полубесконечной области с начальными условиями

и предельным условием

Нетрудно решить эту задачу методом, указанным в [179]. Действительно, достаточно продолжить функции заданные в промежутке на промежуток по закону нечетности и затем применить формулу (17) для бесконечной струны. Полагая в этой формуле мы иолучим

и оба слагаемых обращаются в нуль в силу нечетности продолжения так что предельное условие наверно удовлетворено.

Если применим к поставленной задаче метод Фурье, то вместо ряда Фурье получим интеграл Фурье. Как мы видели в [180], применение метода Фурье с учетом предельного условия приводит к решениям вида

Второго предельного условия нет, а потому все значения параметра k являются допустимыми, т. е. мы приходим к сплошному спектру возможных частот k полубесконечной струны. Вместо суммирования по дискретным значениям k, которое мы применяли в [180], мы в рассматриваемом случае должны применить интегрирование по параметру k, считая, конечно, А и В функциями k. Таким образом мы получим:

Функции должны определяться из начальных условий (146). Они дадут:

Сравнивая эти формулы с формулой Фурье для нечетной функции

мы определяем функции A(k) и В(k):

и, подставляя в формулу (148), получаем решение задачи

или, принимая во внимание четность подынтегральной функции, как функции от k:

Нетрудно, пользуясь формулой Фурье, убедиться в том, что правая часть этой формулы совпадает с правой частью формулы (17) при условии нечетности .

Совершенно аналогично можно рассмотреть в случае уравнения

предельную задачу для полуплоскости с предельным условием

и любыми начальными условиями

Нетрудно проверить, что решение задачи будет давать формула (80) при условии нечетного продолжения функций по аргументу у на промежуток . Действительно, при первое слагаемое формулы (80) может быть написано в виде

и внутренний интеграл равен нулю при любых х и t, ибо подынтегральная функция есть нечетная функция от р. Совершенно аналогично и второе слагаемое формулы (80) обращается в нуль, так что условие (150) действительно выполнено. Мы могли бы и для рассматриваемой задачи применить метод Фурье, используя представление функции двух переменных интегралом Фурье. Проверка тождества полученного таким образом решения с решением, определяемым формулой (80), представляет большие трудности, чём в линейном случае. Совершенно аналогично можно рассмотреть волновое уравнение в полупространстве при предельном условии при

. Метод Фурье применим и для решения волнового уравнения для безграничного случая, когда имеются только начальные условия. Но его применения приводят к более сложным вычислениям, чем те, которые мы применяли выше.