на малые части и рассмотрим одну из этих частей 
. Ввиду малости этой части можем считать приближенно, что на этой части вектор силы F имеет постоянное значение, хотя бы то, которое он имеет в точке 
и можем заменить дугу 
хордой 
. Таким образом на этом малом участке работа приближенно выразится произведением
где через 
мы обозначали длину вектора F в точке 
через 
длину отрезка 
и через 
работу на участке 
Пользуясь известной из аналитической геометрии формулой для угла между двумя направлениями, можем написать
или, раскрывая скобки и обозначая через Р, Q и R проекции вектора F на координатные оси,
где значок у Р, Q и R показывает, что берутся значения этих функций в точке 
. Суммируя затем по всем участкам и переходя к пределу, получим точное выражение для всей работы
Примеры. 1. Работа, производимая постоянной силой тяжести при перемещении точки М массы 
из положения 
по любой кривой 
выражается интегралом
(ось OZ мы направили вертикально вниз), откуда видно, что эта работа зависит только от начального и конечного положений точки, но не от гптн, по которому точка двигалась. Здесь мы имеем пример криволинейного интеграла, величина которого зависит только от начальной и конечной точек интегрирования, но не от пути.
2. Работа сил ньютонова притяжения к неподвижному центру массы 
при перемещении точки единичной массы из положения в положение 
. Поместив притягивающий центр в начале координат и обозначая 
радиус-вектор точки, мы видим, что сила F направлена противоположно ОМ, а по величине равна 
, где 
- постоянная тяготения. Таким образом оказывается
и если мы через 
обозначим расстояния точек 
от притягивавшего центра, то
и здесь работа, т. е. соответствующий криволинейный интеграл, зависит только от начальной и конечной точек, но не от пути.
Если ввести потенциал точечной массы
так что
то работа Е будет выражаться разностью значений потенциала U в точках М, и 
т. е.
В последующих примерах мы рассмотрим криволинейные интегралы по плоским кривым.
3. Рассмотрим плоское установившееся течение несжимаемой жидкости постоянной плотности, которую мы примем равной единице. При таком движении скорость v частицы жидкости, находящейся в точке 
зависят только от 
Вычислим количество жидкости q, протекающей в единицу времени через данный контур 
Обозначим через 
проекции скорости v на координатные оси. Выделим элемент 
контура 
.
Рис. 56.
Считая приближенно скорости всех чдетиц этого элемента одинаковыми, мы увидим, что в течение бесконечно малого промежутка времени 
все частицы этого элемента продвинутся на отрезок 
в направлении вектора v и займут положение 
Площадь параллелограмма 
может быть выражена произведением основания 
на величину проекции вектора 
на направление внешней нормали 
к кривой 
т. е.
где 
есть длина вектора v. Обозначая через 
направление касательной k. Контуру 
указанные на рис. 56, имеем
где символом 
мы обозначаем угол, отсчитываемый от направления 
направления 
против часовой стрелки. Таким образом мы имеем
как известно, угол между двумя направлениями выражается по формуле
или, в силу (9),
Подставляя в выражение площади и принимая во внимание, что
получим окончательно
При этом, если угол 
тупой, то 
будет отрицательным, и площадь получится со знаком (—).
Полное количество жидкости, протекающей за время 
через контур 
будет
а за единицу времени:
Заметим, что контур 
может быть замкнутым и при этом 
надо обходить против часовой стрелки. Количество жидкости q подсчитывается по формуле (10) со знаком 
если жидкость течет в ту сторону, куда направлена нормаль 
и со знаком (—), если в обратную сторону.
Направление 
указано нами выше. Оно связано с направлением интегрирования по 
и ориентировкой осей х, у согласно формулам (9). Если 
замкнутый контур и интегрирование совершается против часовой стрелки (рис. 56), то величина q дает разность между вытекающей в единицу времени в область, ограниченную линией 
жидкостью и втекающей. Уменьшаемое или вычитаемое могут и отсутствовать.
Если внутри 
не имеется ни источников, откуда жидкость вытекает (положительный источник), ни точек поглощения, куда она втекает (отрицательный источник), то q должно равняться нулю, так как в противном случае количество жидкости, находящейся внутри 
увеличилось бы или уменьшилось, что противоречит свойству несжимаемости и отсутствию источников.
Таким образом установившееся плоское течение несжимаемой жидкости характеризуется равенством
которое должно выполняться для всякого замкнутого контура (I), имеющего внутри источников.
4. В термодинамике состояние всякого тела определяется тремя физическими величинами: давлением 
, объемом v и температурой (абсолютной) Г. Эти величины связаны одним соотношением
например, в случае идеального газа — формулой Клапейрона
Таким образом состояние тела определяется двумя величинами из трех, например: 
, т. е. точкой 
плоскости 
Если состояние меняется, то определяющая его точка М описывает кривую в плоскости 
которая называется диаграммой рассматриваемого процесса; если тело возвращается к первоначальному состоянию, процесс называется круговым процессом или циклом, и диаграмма его будет замкнутая кривая 
Для определения количества тепла Q, поглощенного телом во время процесса, разобьем его на бесконечно малые элементарные процессы, соответствующие бесконечно малым изменениям величин 
на 
Если бы менялась только одна из этих величин, то количество поглощенного тепла было бы приближенно пропорционально приращению соответствующей переменной; если же меняются сразу все три переменные, то по принципу наложения малых действий [I, 68] полное приращение 
будет равно сумме этих частных приращений. Другими словами, мы имеем приближенное равенство вида
и окончательно получим
Выразив, в силу уравнения состояния, Т через 
, мы получим
подставив эти выражения вместо 
в правую часть (12), найдем окончательно
где Р и V суть известные функции от 
.
5. Пусть изучаемый процесс есть расширение или сжатие газа или пара в рабочем цилиндре газового или простого двигателя. Изменение объема 
будет тогда пропорционально смещению поршня в цилиндре под действием давления 
, а потому работа 
которая будет произведена давлением 
, при этом изменении объема, будет выражаться при надлежащем выборе единиц произведением 
а полная работа, произведенная в течение всего кругового процесса
Рис. 57.
под действием силы F, являющейся функцией точки вдоль 
. Для вычисления работы разобьем 
