188. Точечный источник.

Если мы положим, что свободный член в уравнении (83) отличен от нуля только в небольшой сфере с центром в начале координат, то при стремлении радиуса этой сферы к нулю и при беспредельном возрастании интенсивности внешней силы мы в пределе можем получить решение волнового уравнения при наличии точечного источника, который начинает действовать с момента и закон воздействия которого может быть любым в зависимости от времени. Положим, что

и

где сфера с центром в начале и радиусом е. Обратимся к формуле (91) и будем считать, что силу (96) достаточно произвести интегрирование по сфере . В пределе при величина будет равна расстоянию от точки (х, до начала, т. е. ), и мы получим, принимая во внимание (97),

Кроме того надо считать, что при так как при область интегрирования в интеграле (91) не содержит внутри себя сферы при достаточно малых . Отметим, что функция (98) при любом выборе дважды непрерывно дифференцируемой функции удовлетворяет однородному волновому уравнению и имеет особенность в начале координат.

В случае уравнения (92) мы должны совершенно так же, как и выше, считать:

и

где — круг с центром в начале и радиусом . Обращаясь к формуле (93) и переходя к пределу, получим решение для точечного

источника в случае цилиндрических волн:

Формулы (98) и (99) отличаются, аналогично тому, что мы указывали в предыдущем параграфе [(91) и (93)]. Воздействие точечного источника на точку в момент времени t согласно формуле (98) зависит только от интенсивности источника в момент времени . В случае формулы (90) это воздействие определяется действием точечного источника за промежуток времени от момента до момента

В линейном случае (94), полагая, как всегда,

мы получаем, переходя к пределу в формуле (95):