21. Системы уравнений и уравнения высших порядков.
Выясним связь между системой дифференциальных уравнений первого порядка и одним уравнением высшего порядка. Если мы имеем, например, одно дифференциальное уравнение третьего порядка
то, полагая 
, мы можем заменить это уравнение третьего порядка системой трех уравнений первого порядка
Нетрудно видеть, что уравнение третьего порядка и последняя система равносильны в следующем смысле: если у(х) — решение уравнения третьего порядка, то 
есть решение системы, а если 
есть решение системы, то 
есть решение уравнения третьего порядка.
Мы производили уже подобную замену в [16]. Совершенно так же, имея, например, систему двух уравнений второго порядка
где у и z — искомые функции от х, мы можем заменить ее системою четырех уравнений первого порядка, вводя четыре искомые функции 
Прежняя система перепишется в виде
Покажем, что, наоборот, интегрирование системы, можно, вообще говоря (не всегда), заменить интегрированием одного уравнения высшего порядка. Рассмотрим, для примера, систему трех уравнений первого порядка, решенную относительно производных
Положим, что первое из уравнений содержит у Решая относительно него, получим
(70)
Подставляя в остальные два уравнения системы, будем иметь уравнения вида
Подставляя в первое уравнение выражение уг из второго и решая первое уравнение относительно 
, получим систему двух уравнений с двумя искомыми функциями 
и 
вида
(71)
Положим, что первое из уравнений содержит 
. Решая относительно него
(72)
которое можем написать в виде
и подставляя затем в (70), получим 
уже без всяких интегрирований. Если первое из уравнений (71) не содержит 
то мы имеем уже одно уравнение второго порядка для 
Его общий интеграл будет содержать две произвольные постоянные. Подставляя этот общий интеграл во второе из уравнений (71), получим уравнение первого порядка для 
. Его интегрирование введет третью произвольную постоянную. Наконец, формула (70) определит 
уже без всяких интегрирований.
