165. Вторая теорема о среднем.

Для доказательства теоремы Дирихле и более подробного изучения ряда Фурье нам будет необходимо одно предложение интегрального исчисления, которое имеет некоторую аналогию с теоремой о среднем, изложенной в томе и называется обычно второй теоремой о среднем. Это предложение формулируется следующим образом: если монотонная ограниченная функция в конечном промежутке с конечным числом точек разрыва, непрерывная функция, то

где некоторое число из промежутка

Нетрудно видеть, что достаточно доказать формулу (8) для случая возрастающей (неубывающей) функции ибо если убывающая, то есть возрастающая функция и, применяя формулу (8) к и меняя в обеих частях знаки на обратные, получим равенство (8) и для самой Покажем еще, что достаточно доказать формулу (8) для того случая, когда Действительно, пусть для этого случая формула (8) доказана, и рассмотрим которая указанному условию не удовлетворяет. Введем новую монотонную функцию . У этой функции предельные значения на границах будут По предположению, к функции формула (8) применима, и в силу она дает

или

откуда

а из этого равенства непосредственно вытекает формула (8) для Итак, достаточно доказать формулу (8) для возрастающей или, лучше сказать, неубывающей функции у которой . Значения такой функции в промежутке будут, очевидно, неотрицательными.

Для доказательства разобьем промежуток на части, отметив в нем точки

Как известно [I, 95],

где — некоторое значение, лежащее внутри промежутка . Составим сумму

При беспредельном возрастании n и уменьшении наибольшей из длин промежутков эта сумма стремится к определенному интегралу [1, 116], т. е. мы имеем

Займемся теперь исследованием суммы

Интегралы

являются частными значениями функции

которая есть непрерывная функция от переменного предела интегрирования а поэтому все значения (10) лежат между наименьшим и наибольшим значениями и М функции (11).

Принимая во внимание, что в выражении (9) все множители

неотрицательны, и заменяя в этом выражении значения (10) справа на m, а затем на , получим

то есть

или в пределе при и беспредельном уменьшении наибольшей из длин промежутков мы имеем

и неравенство будет

т. е.

где Р — некоторое число, лежащее в промежутке . Но непрерывная функция (11) принимает в промежутке все значения, лежащие между ее наименьшим и наибольшим значениями в том числе и Р, а потому в промежутке наверно найдется такое значение , при котором

и, следовательно,

а это совпадает с формулой (8) в силу условия Заметим, что формулу (8) можно доказать, не предполагая непрерывности и конечного числа разрывов на чем мы, однако, останавливаться не будем. Отметим, наконец, что вместо формулы (8) можно доказать более формулу

где числа А и В должны удовлетворять следующим условиям: .

Следствие. В [159] мы видели, что при некоторых условиях коэффициенты Фурье функции стремятся к нулю, при Если удовлетворяет условиям Дирихле, то можно доказать более точный результат, а именно, что при больших будут бесконечно малыми порядка не ниже , т. е. для них будет иметь место оценка вида

где М — определенное положительное число. По условию, промежуток можно разбить на конечное число частей, в каждой из которых монотонна и ограничена. Пусть — одна из этих частей.

Коэффициент будет суммой конечного числа слагаемых вида

которое можно преобразовать по теореме о среднем:

Мы получим таким образом для отдельного слагаемого в выражении оценку вида где Оценка того же вида

очевидно будет и для всей суммы конечного числа таких слагаемых, т. е. для . Аналогичное рассуждение годится и для

Если непрерывна, и существует производная удовлетворяющая условиям Дирихле, то, интегрируя по частям и принимая во внимание, что в силу внеинтегральный член обратится в нуль, получим

Но последний интеграл, как коэффициент Фурье функции удовлетворяющей условиям Дирихле, имеет вышеуказанную оценку, и для получаем при сделанных предположениях оценку

Аналогичная оценка получится и для Более подробное рассмотрение оценок коэффициентов Фурье в зависимости от свойств функции будет нами дано позже.