35. Синусоидальная внешняя сила и резонанс.

В приложениях свободный член часто бывает синусоидальной величиной

В настоящем случае будем искать решение уравнения в виде синусоидальной величины той же частоты что и в свободном члене [30]:

Надо определить амплитуду N и сдвиг фазы b этого колебания. Подставляем выражение (74) в уравнение (73)

Аргумент тригонометрических функций, стоящих в левой части равенства, представим в виде суммы двух слагаемых и b. Пользуясь формулами для синуса и косинуса суммы, получим

Приравнивая коэффициент при постоянной и при нулю, получим два уравнения для определения N и b:

Решаем их относительно :

Возводя почленно в квадрат и складывая, получим

откуда находим

Подставляя это значение N в предыдущие выражения получим формулы для определения :

Имея значения N и b, согласно формуле (74), будем иметь синусоидальное частное решение уравнения (73). Общее решение этого уравнения будет

где - произвольные постоянные, определяемые по начальным условиям. При этом мы считаем, что , т. е. что собственные колебания суть затухающие колебания. Ввиду наличия множителя первое слагаемое в выражении (77) быстро убывает при увеличении t, так что это слагаемое заметно влияет на величину лишь при близких к нулю (устанавливающийся процесс), а в дальнейшем величина определяется почти исключительно вторым чисто синусоидальным слагаемым, не зависящим от начальных условий (установившийся процесс).

Исследуем теперь формулы (75) и (76), служащие для определения амплитуды N и разности фаз решения (74) и свободного члена в уравнении (73). Если бы в правой части уравнения (73) стояла только постоянная то уравнение

имело бы очевидное частное решение в виде постоянной

Эта постоянная есть величина того статического отклонения, которое произвела бы постоянная сила.

Введем в рассмотрение отношение

которое служит мерою динамической восприимчивости системы по отношению к действующей внешней силе. Принимая во внимание формулу (75) и выражение получим

Из последнего выражения видно, что X зависит только от двух отношений

Выясним механический смысл первого отношения. Если бы сопротивление отсутствовало, то собственные колебания выражались бы по формуле (60)

и имели бы период Период возмущающей силы обозначим через . Для q получим тогда

т. е. q равно отношению периода свободного колебания системы без сопротивления к периоду возмущающей силы.

Рис. 16.

Таким образом, для величины X получим

где значение q объяснено выше, а постоянная как это видно из ее определения, не зависит от действующей внешней силы. Ввиду малости h постоянная обычно мала, и если q не близко к единице, то X близко к величине Рис представлены графики величины X как функции при нескольких заданных значениях у.

Деля числитель и знаменатель в выражениях (76) на получим формулы

которые определяют разность фаз внешней силы и произведенного ею возмущения.

Величина X зависит от периода Т внешней силы через посредство величины q. Найдем максимум величины X как функции от q. Для этого достаточно найти минимум

как функции от . Как нетрудно видеть, этот минимум будет достигаться при и будет равен Отсюда следует, что максимум X будет достигаться при

и будет равен

При малом 7 величина q, которой соответствует максимум X, близка к единице, т. е. период внешней силы, производящей, при данной ее амплитуде, наибольший эффект, близок к периоду свободного колебания. Разница между этими периодами, зависящими от величины у, обусловливается наличием сопротивления.

Если сопротивление отсутствует, то и максимум X достигается при и равен бесконечности. В этом случае, характеризуемом условием и уравнение (73) будет

и его решение уже нельзя искать в виде (74).

Предоставляем читателю проверить, что уравнение (83) будет иметь решение

которое содержит t множителем [30].

Вернемся вновь к рассмотрению того случая, когда имеется сопротивление, т. е. Как видно из графика, величина X, быстро возрастая перед максимумом, быстро убывает после него. В этом нетрудно убедиться и из формулы (80) при малом f. Подставляя в формулы (81) Хтах и выражение q из формулы (82), получим

откуда видно, что при наибольшем эффекте внешней силы и малом у разность фаз b близка к

Возвратимся теперь к формуле (77). При сравнительно уже небольших значениях t первое слагаемое, дающее собственные затухающие колебания, будет мало по сравнению со вторым. Будем теперь менять величину т. е.

период Т возмущающей силы, В силу вышесказанного при этом будет иметь место следующее явление; при приближении T к некоторому определенному значению вынужденные колебания будут быстро возрастать, достигнут максимума и затем при дальнейшем изменении Т будут быстро падать. Это явление называется резонансом. Оно встречается при самых разнообразных явлениях, где мы имеем дело с колебаниями: при колебании механических систем, при электрических колебаниях, в явлениях звука и т. д.

Положим теперь, что правая часть уравнения содержит сумму нескольких синусоидальных величин

Каждому слагаемому правой части уравнения соответствует некоторое свое вынужденное колебание вида

причем и определяются по формулам (75) и (76), если правая часть уравнения известна. Сумме всех внешних сил будет соответствовать сумма указанных выше вынужденных колебаний, т. е. частное решение уравнений (84) будет [30]

Покажем теперь, каким образом, наблюдая вынужденное колебание, можно определить амплитуды и периоды слагаемых в правой части уравнения (84), если они неизвестны.

Положим, что мы можем изменять величину т. е. период t свободных колебаний. При этом будет иметь место следующее явление: при приближении к некоторой величине амплитуда вынужденных колебаний будет быстро возрастать, достигнет максимума, и при дальнейшем изменении быстро упадет и будет оставаться малой, пока период не приблизится в величине та, которой будет соответствовать второй максимум амплитуды вышеописанного характера и т. д.

Рис. 17.

Эти максимумы объясняются явлением резонанса с одной из внешних сил, стоящих в правой части уравнения (84), и величины дают приближенное значение периодов этих внешних сил. Откладывая по оси абсцисс периоды свободных колебаний, а по оси ординат амплитуды вынужденных колебаний, получим кривую с несколькими максимумами (рис. 17).

При в сумме (85) будет велик по сравнению с другим один член, а именно тот, у которого близко к Наблюдая из опыта максимальную величину амплитуды вынужденного колебания, мы можем считать ее приблизительно равной и из формулы

принимая во внимание, что близко к сможем найти приближенное значение напряжения силы