204. Основные свойства гармонических функций.

Рассмотрим функцию U, гармоническую в ограниченной области (D) с поверхностью (S). Считая, что U непрерывна вместе с производными второго порядка вплоть до (S) и применяя формулу Грина (6) к этой функции U и к гармонической функции , получим, в силу

т. е. имеем первое свойство гармонической функции: интеграл от нормальной производной гармонической функции по поверхности области равен нулю.

Если применим к гармонической функции U формулу (9), то, в силу , получим

Это дает нам второе свойство гармонической функции: значение гармонической функции в любой точке внутри области выражается через значения этой функции и ее нормальной производной на поверхности области формулой (13).

Отметим, что интегралы в формулах (12) и (13) не содержат производных второго порядка функции и для применимости этих формул достаточно предположить, что гармоническая функция непрерывна вместе с производными первого порядка вплоть до (S). Чтобы убедиться в этом, достаточно несколько сжать поверхность (S), написать формулы (12) и (13) для сжатой области (D), в которой имеется непрерывность и производных второго порядка вплоть до поверхности, и затем перейти к пределу, расширяя (D) до (D). Сжатие можно произвести, например, откладывая на внутренней нормали к (S) в каждой ее точке один и тот же малый отрезок длины 8. Концы этих отрезков образуют новую (сжатую) поверхность. При этом поверхность (S) должна быть такой, что описанное преобразование при всех достаточно малых 8 приводит к поверхности, которая не пересекает сама себя и является кусочно-гладкой [203]. Этот вопрос будет подробно изложен в томе IV.

Применим формулу (13) к частному случаю области, а именно к сфере с центром в и радиусом R, считая, конечно, что

функция U гармоническая в этой сфере и непрерывна с производными первого порядка вплоть до ее поверхности (21)

В данном случае направление внешней нормали совпадает с направлением радиуса сферы, так что мы будем иметь

и формула (13) дает

Но на поверхности сферы величина имеет постоянное значение R, так что

или, в силу (12), будем иметь окончательно

Формула эта выражает третье свойство гармонической функции: значение гармонической функции в центре сферы равно среднему арифметическому значению этой функции на поверхности сферы, т. е. равно интегралу от значений функции по поверхности сферы, деленному на площадь этой поверхности.

Из этого свойства почти с очевидностью вытекает следующее четвертое свойство гармонической функции:

Функция, гармоническая внутри области и непрерывная вплоть до границы области, достигает своего наибольшего и наименьшего значения только на границе области, кроме того случая, когда эта функция есть постоянная. Приведем подробное доказательство этого утверждения. Пусть достигает наибольшего значения в некоторой внутренней точке той области где гармоническая функция. Построим сферу с центром и радиусом , принадлежащую применим формулу (14) и заменим подынтегральную функцию U ее наибольшим значением на сфере Таким образом получим

причем знак равенства имеет место только в том случае, когда U на сфере есть постоянная, равная . Поскольку по предположению и есть наибольшее значение в мы можем утверждать, что имеет место знак равенства, и что, следовательно,

равна постоянной внутри и на поверхности всякой сферы с центром принадлежащей D. Покажем, что отсюда следует, что есть постоянная и во всей области

Пусть N — любая точка, лежащая внутри D. Нам надо показать, что Соединим с N линией конечной длины, например ломаной линией, лежащей внутри и пусть d — кратчайшее расстояние от границы S области D (d — положительное число). В силу доказанного выше равна постоянной в шаре с центром и радиусом d. Пусть — последняя точка пересечения линии с поверхностью упомянутого шара, если считать от Мы имеем и по доказанному выше равна постоянной и в шаре с центром и радиусом d. Пусть последняя точка пересечения l с поверхностью этого шара. Как и выше, функция равна постоянной и в шаре с центром и радиусом d и т. д. Путем построения конечного числа таких шаров мы и убедимся в том, что что и требовалось доказать. Можно показать также, что не может иметь внутри D ни максимумов, ни минимумов. Пользуясь доказанным свойством гармонических функций, очень легко показать, что внутренняя задача Дирихле, о которой мы упоминали в [202], может иметь только одно решение. Действительно, если предположить, что существуют две функции гармонические внутри D и принимающие на поверхности S этой области одни и те же предельные значения то разность будет также удовлетворять внутри D уравнению Лапласа, т. е. будет гармонической функцией, и ее предельные значения на поверхности 5 везде равны нулю. Отсюда, в силу доказанного выше, непосредственно следует, что обращается в нуль тождественно во всей области ибо в противном случае она должна была бы достигать внутри положительного наибольшего значения или отрицательного наименьшего значения, что невозможно. Таким образом два решения задачи Дирихле должны совпадать во всей области D. Совершенно так же доказывается единственность внешней задачи Дирихле, если учесть, что по условию в бесконечно далекой точке гармоническая функция должна обращаться в нуль.

Совершенно аналогичные свойства получаются и для гармонических функций на плоскости. В данном случае вместо формулы (13) мы будем иметь формулу

и теорема о среднем будет выражаться в виде

где — окружность с центром и радиусом R. Для внешней задачи Дирихле в бесконечно далекой точке требуется не обращение в нуль, как в трехмерном случае, но лишь существование какого-либо конечного предела, и единственность задачи Дирихле надо доказывать иначе, чем в прежнем случае. Мы приведем это доказательство в томе IV, где рассмотрим задачи Дирихле и Неймана более подробно.

Отметим сейчас, что любая постоянная есть гармоническая функция, удовлетворяющая предельному условию

откуда видно, что если к решению задачи Неймана добавить произвольную постоянную, то полученная сумма также будет решением задачи Неймана с теми же предельными значениями т. е. решение задачи Неймана определяется с точностью до произвольного постоянного слагаемого. Из формулы (12) следует также, что функция входящая в предельное условие внутренней задачи Неймана, не может быть произвольной, но должна удовлетворять условию

В заключение отметим еще, что формула (13) справедлива и в том случае, когда есть гармоническая функция в бесконечной области, образованной частью пространства, находящейся вне поверхности S. При этом надо только сделать предположение о порядке малости на бесконечности, т. е. при беспредельном удалении точки М. Достаточно (и необходимо) предположить, что при беспредельном удалении имеют место неравенства

где R — расстояние от М до начала или какой-либо другой определенной точки пространства, — численная постоянная и - произвольное направление в пространстве. Для доказательства формулы (13) для безграничной области при указанных условиях достаточно применить формулу (13) для конечной области, ограниченной поверхностью S и сферой с центром, например, в точке и достаточно большим радиусом. При стремлении этого радиуса к бесконечности интеграл по поверхности сферы будет стремиться к нулю в силу приведенных выше условий, и мы получим формулу (13) для любой точки лежащей вне S. Как мы увидим в томе IV, условия наверно выполняются, если стремится к нулю при беспредельном удалении точки М.