107. Свойства интеграла Лебега.

Поскольку интеграл Лебега может быть определен как предел сумм для подразделений Лебега или для их продолжений он имеет свойства, аналогичные свойствам интеграла Римана. Мы отметим и еще некоторые важные дополнительные свойства, которых не было у интеграла Римана. В этом номере мы считаем везде, что — измеримые ограниченные функции и Е — множество конечной меры.

1. Если С — постоянная, то

Для любого подразделения суммы имеют значение откуда и следует (49).

Пусть последовательность подразделений, при которых для для имеют пределом соответствующие интегралы. Для суммы как для так и для имеют пределом соответствующие интегралы, и (50) получается на основе теоремы о пределе суммы.

Применяем несколько раз формулу (50), а вынесение постоянного множителя за знак интеграла следует из возможности вынесения его анак сумм

4. Если на Е, то

Все суммы неотрицательны.

5. Если на Е, то

Достаточно применить 4 к разности и воспользоваться 3.

Для доказательства достаточно взять произпедение подразделении для и написать аналогичное неравенство для сумм .

7. Если , то

Непосредственно следует из 5 и 1.

8. Если , то

Неравенство равносильно: и (56) является следствием 7.

9. Если где Е" и Е измеримы и без общих точек, то

Достаточно взять последовательности подразделений для составить для них суммы сложить их и перейти к пределу.

10. Пусть ограниченная функция, определенная на множестве Е конечной меры. При этом для любого заданного существует такое 0, что

если

Это свойство следует из неравенства

Оно называется абсолютной непрерывностью интеграла?

11. Если Е разбито на конечное или счетное число измеримых множеств без общих точек), то

В случае конечного числа слагаемых формула следует из 9. В случае бесконечного числа положим: , где

при Имеем

причем последнее слагаемое по абсолютной величине и стремится к нулю при откуда и следует

Доказанное свойство называется полной аддитивностью интеграла.

12. Если множество меры нуль, т. е. , то любой ограниченной на Е функции

Функция измерима на Е и для любого подразделения суммы равна нулю.

13. Если эквивалентны на Е, то

Пусть та часть Е, где По условию, и на множестве функции совпадают. Имеем равенства

сложение которых и дает (60).

14. Если на Е и

то эквивалентна нулю.

Надо доказать, что мера множества равна нулю. Это множество можно представить в виде

и если его мера была бы положительной, то положительной должна быть по крайней мере одного из слагаемых правой части. Пусть,

например, положительная мера Обозначая имеем

Первое слагаемое правой части а второе, в силу неотрицательно, откуда следует, что левая часть положительна, что противоречит (61).

16 Пусть бесконечная последовательность функций, определенных на Е и равномерно по отношению к значку ограниченных, положительное число (L не зависит от почти везде на ). При этом

Предельная функция почти везде на Е удовлетворяет неравенству Переходя к эквивалентной функции, можем считать, что оно выполнено везде на Е. Нам надо доказать, что

Из свойства 6 следует

Пусть задано и пусть . В силу теоремы из при а в точках выполняется неравенство Кроме того, в любой точке Е

Из формулы

следует

и тем более

Поскольку при существует такое , что при таким образом,

откуда, ввиду произвольности и (64), следует (63). Доказанное свойство дает возможность переходить к пределу под знаком интеграла при единственном предположении ограниченности по абсолютной величине независимо от знака. Отметим, что достаточно предположить, что неравенство имеет место лишь почти везде на Е.