51. Случай нелинейного уравнения.

Метод последовательных приближений применим и для нелинейных уравнений, но окончательный результат будет при этом несколько иным. Для простоты будем рассматривать сначала одно уравнение первого порядка

с начальным условием

Предполагается, что функция однозначна, непрерывна и имеет непрерывную производную по у в некоторой открытой области R (область, к которой не причисляется граница) плоскости XOY, причем

точка принадлежит В. В дальнейшем, при рассмотрении непрерывных функций определенных на некотором промежутке изменения мы будем считать, что точки с координатами при изменении на принадлежат В, и имеет производную. У такого решения уравнения (18) производная непрерывна на

Если содержит точку есть решение задачи (18), (19), то есть решение интегрального уравнения

я, наоборот, если есть непрерывное на решение этого интегрального уравнения, то есть и решение задачи (18), (19) на Выберем положительные числа а так, чтобы прямоугольник Q плоскости ХОY, определяемый неравенствами (рис. 18)

прянадлежал В. Поскольку функции и по предположению, непрерывны в замкнутом прямоугольнике Q, они ограничены по абсолютной величине, т. е. существуют такие положительные числа М и к, что

если принадлежит Q. Отметим, что, если концы отрезка, параллельного оси принадлежат Q, то и все его точки принадлежат

Рис. 18.

Применяя формулу конечных приращений и учитывая (23), получим неравенство

если принадлежит Q, Это неравенство, обычно навиваемое неравенством Липшица, будет использовано в дальнейшем. Вычисление последовательных приближений будем производить по формулам, аналогичным (4) и (5):

При вычислении по этим формулам надо прежде всего позаботиться о том, чтобы точки с абсциссами и ординатами не вышли из прямоугольника Q, определяемого условиями (21), Первое из них дает для неравенство

а второе сводится к неравенству

Для того чтобы это неравенство выполнялось при всяком надо подчинить кроме уже поставленного условия а, еще условию и окончательно получим два условия:

Покажем, что при этом все приближения будут удовлетворять условию (26). Первое приближение дает

и, оценивая, как всегда, интеграл, получим в силу (22):

откуда, в силу второго из условий е. неравенство (26) выполнено при Кроме того, очевидно, функция определяемая предыдущей формулой, непрерывна при соблюдении условий (27). Убедившись во всем этом, сможем вычислить по формуле (25) при

откуда, как и выше,

т. е. неравенство (26) выполнено и при и, очевидно, непрерывная функция при соблюдении условий (27) и т. д. Таким образом, мы сможем определять последовательные приближения в промежутке где, в силу (27), с есть наименьшее из двух чисел: Назовем этот промежуток через . Все суть непрерывные функции в и во всех дальнейших рассуждениях мы будем считать, что принадлежит

Проведем теперь оценку разностей причем для простоты будем считать как это мы делали и в предыдушем.

Первое из уравнений (25), в силу (22), дает

Берем второе из уравнений (25) при и вычитаем почленно из первого

откуда [I, 96]

или, в силу (24),

Пользуясь неравенством (28), получим далее

и окончательно

Далее, написав вторую из формул (25) при и производя почленное вычитание, получим

Пользуясь неравенствами (24) и (29), получим отсюда, как и выше,

и, продолжая так дальше, придем к общему неравенству

Если справа разность заменить на , то неравенство будет справедливо для всех из I (справа и слева от ). Но при из мы имеем так что для всех имеем оценку

которой, как и в [50], следует, что стремятся при равномерно относительно на промежутке l к предельной

функция Эта функция непрерывна на и удовлетворяет неравенству которое следует из (26). Таким образом, точки с абсциссами и ординатами принадлежат прямоугольнику Q при изменении на . В силу непрерывности имеем

Нетрудно видеть, что этот предельный переход имеет место равномерно по отношению к f в промежутке Действительно, при любом заданном существует, в силу равномерной непрерывности в Q, такое что если такие точки из Q, что — Далее, в силу равномерного стремления в А существует такое число N (одно и то же для всех t из ), что при и всех из I. Отсюда вытекает, что для всех t из

что и доказывает равномерное по отношению из стремление к пределу

Обращаемся ко второй из формул (25) и переходим в обоих частях к пределу при . В силу упомянутой только что равномерной сходимости, можем переходить к пределу под знаком интеграла и получим для предельной функции уравнение (20). Таким образом, мы пришли к следующему результату:

Задача (18), (19) при сделанных относительно предположениях имеет решение на промежутке где с — наименьшее из двух чисел это решение может быть получено по методу последовательных приближений

Переходим к доказательству единственности решения задачи (18), (19), или, что то же, уравнения (20). Сначала, как и в [60], докажем единственность для некоторого промежутка достаточно малой длины. Пусть на некотором промежутке , где положительное число l удовлетворяет неравенствам имеются два решения Подставляя их в уравнение (20) и вычитая почленно полученные равенства, будем иметь

откуда

или, в силу (24),

Предполагая, что решения различны на промежутке можем утверждать, что достигает на этом промежутке положительного наибольшего значения b при некотором значений Подставляя в неравенство придем» как и в [50], к неравенству: или а, по условию, Это противоречие и доказывает единственность на промежутке и, аналогично, на промежутке Мы доказали, что если - любая точка из В, то решение задачи (18), (19) единственно на некотором промежутке т. е. мы доказали «единственность в малом».

Положим теперь, что задача имеет решение на некотором промежутке и решение на промежутке причем как так и содержат Пусть - промежуток, состоящий из точек, общих . На существуют оба решения Покажем, что они совпадают на L Для определенности будем считать на что несущественно. Докажем совпадение на от обратного. Положим, что не совпадают на . В силу доказанного выше, они все же должны совпадать при всех и достаточно близких к Пусть Е — множество таких значений что совпадают на промежутке . Если некоторое принадлежит Е, то всякое удовлетворяющее условию также принадлежит Е. По предположению, существуют такие значения из при которых упомянутые решения не совпадают, откуда следует, что множество Е должно иметь точную верхнюю границу, принадлежащую Обозначим ее через . На каждом промежутке при решения совпадают, и, в силу их непрерывности, они совпадают и на промежутке Но, по определению существуют такие и сколь угодно близкие при которых не совпадают. С другой стороны, приняв за начальные данные и применив доказанную выше «единственность в малом», мы можем утверждать, что Должны совпадать при всех и достаточно близких к . Полученное противоречие доказывает совпадение на всем L Отметим, что в рассматриваемом случае промежуток изменения определяется сложнее» чем это было в случае систем линейных уравнений, где он совпадал с промежутком непрерывности коэффициентов и свободных членов.

Пример. Рассмотрим задачу

Уравнение будет

За область В мы можем брать всю плоскость XOY. Вычисляем :

Положительные числа а и b, определяющие прямоугольник Q, можно брать любыми. При этом и неравенства, определяющие искомый промежуток изменения имеют вид

Если брать b близким к нулю или большим, то второе неравенство дает тесный промежуток изменения х. То же будет, если брать а большим, а при а, близких к нулю, тесный промежуток дает первое неравенство. Таким образом, нам не удается получить для х сколь угодно большого промежутка изменения. Дробь имеет наибольшее значение при откуда следуют неравенства: и наилучшеи является оценка но решение, очевидно, продолжимо как направо, так и налево во вне промежутка х приведем более подробный разбор этого примера ниже. Нетрудно видеть, что решение задачи (32) есть кривая, симметричная относительно начала координат. Можно показать, что она уходит на бесконечность и имеет асимптоты , где

Отметим, что решение задачи

существует на бесконечном промежутке