Главная > Курс высшей математики, Т.2
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
608
609
610
611
612
613
614
615
616
617
618
619
620
621
622
623
624
625
626
627
628
629
630
631
632
633
634
635
636
637
638
639
640
641
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

181. Гармоники и стоячие волны.

Введем амплитуду и начальную фазу гармонического колебания

Каждый член ряда (39), дающего решение задачи

представляет собою так называемую стоячую волну, при которой точки струны совершают гармоническое колебательное движение с одинаковой фазой и с амплитудой

зависящей от положения этой точки. При таком колебании струна издает звук, высота которого зависит от частоты колебаний

а сила от наибольшей амплитуды колебаний. Придавая значения мы получаем основной тон струны и ряд последовательных обертонов, частоты которых или числа колебаний в секунду пропорциональны членам натурального ряда целых чисел При некоторых значениях амплитуда может быть отрицательной. Можно ее взять по абсолютной величине, добавив к фазе

Решение (39), т. е. звук, издаваемый струной, складывается из бтих отдельных тонов, или гармоник; амплитуды их, а потому и влияние на звук, издаваемый струной, обыкновенно быстро убывают при уьеличеиии номера гармоники, и их действие сводится к созданию тембра звука, различного для разных музыкальных инструментов и объясняемого именно наличием этих обертонов.

В точках

амплитуда колебаний гармоники обращается в нуль, ибо в этих течках , и точки (45) называются узлами гармоники. В точках же

амплитуда колебаний гармоники достигает наибольшей величины, ибо функция этих точках имеет максимальное абсолютное значение, и точки называются пучностями для гармоники. Струпа колеблется при этом так, как будто бы она состояла различных кусков, не связанных между собой, но закрепленных в ограничивающих узлах. Если мы прижмем нашу струну как

раз посередине, т. е. в пучности ее основного тона, то обратятся в нуль амплитуды не только этого тона, но и всех других, имеющих пучности в этой точке, т. е. 3-й, 5-й, ... гармоник, напротив, на четные гармоники, которые имеют узел в прижатой точке, это влиять не будет, и струна будет издавать не свой основной звук, а его октаву, т. е. звук с числом колебаний в секунду вдвое большим.

Изложенный способ в отличие от способа характеристик можно назвать способом стоячих волн; обычно же он называется способом Фурье.

Нетрудно обнаружить полное тождество решения, представляемого рядом (39), с тем, которое было найдено выше в [179]. В самом деле, заметим сначала, что в [179] мы показали, что применение формулы Даламбера (16) к ограниченной струне требует, чтобы функции заданные в промежутке , были продолжены в промежуток по закону нечетности, а затем с периодом Но такой способ продолжения вполне равносилен разложению этих функций в ряд Фурье по синусам [157], т. е. вполне равносилен формулам (41) для любого Подставляя эти выражения в формулу Даламбера (17), мы и придем, как нетрудно видеть, к решению (39)

или

откуда и вытекает непосредственно (39).

Способ Фурье в данном случае имеет недостатки по сравнению со способом характеристик, а именно ряд (39) часто сходится очень медленно и не годится не только для вычисления, но даже для строгого доказательства того, что этот ряд есть действительно решение, так как при этом приходится его дифференцировать почленно два раза, что введет в члене множитель Зависимость искомой функции от начальных данных выражаемая рядом (39), гораздо сложнее по внешнему виду, чем зависимость, определяемая по способу характеристик. Зато способ Фурье обнаруживает весьма

важное обстоятельство, а именно — существование бесконечного множества различных собственных гармонических колебаний струны, из которых складывается самое общее ее колебание.

Принимая во внимание сказанное в [179], можно утверждать, что сумма ряда (39) будет давать решение нашей задачи с непрерывными производными до второго порядка, если функции обладают указанными в [179] свойствами. Если же функция имеет непрерывные производные до третьего порядка и удовлетворяет условиям имеет непрерывные производные до второго порядка и , то, как можно показать, ряд (39) можно дифференцировать по и t дважды. Можно рассматривать решение волнового уравнения и при меньших предположениях о начальных данных, о чем мы будем говорить в четвертом томе. В дальнейшем при применении метода Фурье мы не будем оговаривать тех условий, при которых получаемые ряды действительно дают решение задачи. Общая точка зрения на метод Фурье будет нами изложена в четвертом томе. Цель настоящего изложения — указать метод решения и получаемый при этом аппарат. Отметим еще, что из рассуждений, приведенных в [177], и метода характеристик [179] непосредственно следует, что решение поставленной выше задачи как для бесконечной, так и для конечной струны, единственно. В дальнейшем мы займемся вопросом единственности решения для общего волнового уравнения.

1
Оглавление
email@scask.ru