181. Гармоники и стоячие волны.

Введем амплитуду и начальную фазу гармонического колебания

Каждый член ряда (39), дающего решение задачи

представляет собою так называемую стоячую волну, при которой точки струны совершают гармоническое колебательное движение с одинаковой фазой и с амплитудой

зависящей от положения этой точки. При таком колебании струна издает звук, высота которого зависит от частоты колебаний

а сила от наибольшей амплитуды колебаний. Придавая значения мы получаем основной тон струны и ряд последовательных обертонов, частоты которых или числа колебаний в секунду пропорциональны членам натурального ряда целых чисел При некоторых значениях амплитуда может быть отрицательной. Можно ее взять по абсолютной величине, добавив к фазе

Решение (39), т. е. звук, издаваемый струной, складывается из бтих отдельных тонов, или гармоник; амплитуды их, а потому и влияние на звук, издаваемый струной, обыкновенно быстро убывают при уьеличеиии номера гармоники, и их действие сводится к созданию тембра звука, различного для разных музыкальных инструментов и объясняемого именно наличием этих обертонов.

В точках

амплитуда колебаний гармоники обращается в нуль, ибо в этих течках , и точки (45) называются узлами гармоники. В точках же

амплитуда колебаний гармоники достигает наибольшей величины, ибо функция этих точках имеет максимальное абсолютное значение, и точки называются пучностями для гармоники. Струпа колеблется при этом так, как будто бы она состояла различных кусков, не связанных между собой, но закрепленных в ограничивающих узлах. Если мы прижмем нашу струну как

раз посередине, т. е. в пучности ее основного тона, то обратятся в нуль амплитуды не только этого тона, но и всех других, имеющих пучности в этой точке, т. е. 3-й, 5-й, ... гармоник, напротив, на четные гармоники, которые имеют узел в прижатой точке, это влиять не будет, и струна будет издавать не свой основной звук, а его октаву, т. е. звук с числом колебаний в секунду вдвое большим.

Изложенный способ в отличие от способа характеристик можно назвать способом стоячих волн; обычно же он называется способом Фурье.

Нетрудно обнаружить полное тождество решения, представляемого рядом (39), с тем, которое было найдено выше в [179]. В самом деле, заметим сначала, что в [179] мы показали, что применение формулы Даламбера (16) к ограниченной струне требует, чтобы функции заданные в промежутке , были продолжены в промежуток по закону нечетности, а затем с периодом Но такой способ продолжения вполне равносилен разложению этих функций в ряд Фурье по синусам [157], т. е. вполне равносилен формулам (41) для любого Подставляя эти выражения в формулу Даламбера (17), мы и придем, как нетрудно видеть, к решению (39)

или

откуда и вытекает непосредственно (39).

Способ Фурье в данном случае имеет недостатки по сравнению со способом характеристик, а именно ряд (39) часто сходится очень медленно и не годится не только для вычисления, но даже для строгого доказательства того, что этот ряд есть действительно решение, так как при этом приходится его дифференцировать почленно два раза, что введет в члене множитель Зависимость искомой функции от начальных данных выражаемая рядом (39), гораздо сложнее по внешнему виду, чем зависимость, определяемая по способу характеристик. Зато способ Фурье обнаруживает весьма

важное обстоятельство, а именно — существование бесконечного множества различных собственных гармонических колебаний струны, из которых складывается самое общее ее колебание.

Принимая во внимание сказанное в [179], можно утверждать, что сумма ряда (39) будет давать решение нашей задачи с непрерывными производными до второго порядка, если функции обладают указанными в [179] свойствами. Если же функция имеет непрерывные производные до третьего порядка и удовлетворяет условиям имеет непрерывные производные до второго порядка и , то, как можно показать, ряд (39) можно дифференцировать по и t дважды. Можно рассматривать решение волнового уравнения и при меньших предположениях о начальных данных, о чем мы будем говорить в четвертом томе. В дальнейшем при применении метода Фурье мы не будем оговаривать тех условий, при которых получаемые ряды действительно дают решение задачи. Общая точка зрения на метод Фурье будет нами изложена в четвертом томе. Цель настоящего изложения — указать метод решения и получаемый при этом аппарат. Отметим еще, что из рассуждений, приведенных в [177], и метода характеристик [179] непосредственно следует, что решение поставленной выше задачи как для бесконечной, так и для конечной струны, единственно. В дальнейшем мы займемся вопросом единственности решения для общего волнового уравнения.