176. Кратные ряды Фурье.

Ряды и интегралы Фурье могут служить и для представления функций от двух и большего числа независимых переменных. Рассмотрим, например, функцию периодическую, периода относительно и периода относительно у. Рассматривая функцию как функцию от мы имеем

где

Функция в свою очередь, может быть разложена в ряд вида

где

Подставив полученное выражение для в формулу (18), получим

откуда, раскрывая скобки, имеем формулу

которая обобщает ряд Фурье на случай двух переменных.

Таким же образом для периодической функции от трех независимых переменных периода относительно периода

относительно и периода относительно мы имеем

где

Выделяя вещественную часть в формулах (20) и (21), получим разложение в ряд Фурье в вещественной форме. Ряд (20) при те имеет вид

Мы не выписываем выражений для коэффициентов и не проводим исследования условий разложимости в ряд Фурье. Укажем одно достаточное условие: если имеет период по х и у, непрерывна и имеет непрерывные частные производные при всех х и у, то она разлагается в ряд Фурье при всех х и у. Отметим, что в формуле (23) о и могут независимо друг от друга стремиться к бесконечности:

Формула Фурье для функции двух переменных имеет вид

причем интегрирование по надо понимать так, как это указано в конце [173]. В вещественной форме будем иметь

Эта формула имеет место, если функция определенная на всей плоскости, непрерывна, имеет частные производные первого

порядка, при любом фиксированном у абсолютно интегрируема по на промежутке и при любом фиксированном абсолютно интегрируема по у на промежутке например, функция есть четная функция от х и у, то вместо формулы (25) можно писать

Аналогичным образом может быть написана формула Фурье и для функции любого числа независимых переменных.