196. Устанавливающиеся процессы.

Сравним между собой два типа вынужденных колебаний в одной и той же цепи под действием различных внешних факторов. Эти колебания обозначим номерами (I) и (II). Напряжения и ток колебаний типа (I) обозначим через а те же величины типа (II) — через .

Если мы внезапно заменим внешние условия, при которых имеют место колебания (I), на те, при коих должен получиться тип (II), то система не сразу перейдет от (I) к (II), а только по истечении более или менее продолжительного промежутка времени, который теоретически может быть равен бесконечности, но практически конечен; в цепи возникнут свободные колебания (или устанавливающиеся), которые характеризуются величинами напряжения v и тока причем мы будем считать, что во время переходного процесса состояние линии получается путем сложения состояния (II) со свободными затухающими колебаниями, т. е. напряжение и ток переходного процесса определяются суммами

При , т. е. в начале переходного процесса, эти суммы должны обращаться в . Функции v и i должны удовлетворять дифференциальным уравнениям (1) и (2) [194] и предельным условиям (3) или (4), в зависимости от условий на концах. Сверх того, они должны удовлетворять и начальным условиям вида:

Функции v и мы будем искать не непосредственно, а выразив их через одну новую неизвестную функцию для чего положим

Уравнение (2) дает тогда

откуда

где с не зависит от х. Не ограничивая общности, мы можем, однако, считать , ибо, не изменяя величины можем прибавлять к w произвольное слагаемое, не зависящее от

Итак, мы имеем

и уравнение (2) удовлетворено. Подставив (20) в уравнение (1), получаем уравнение, которому должна удовлетворять функция а именно

или

Это уравнение называется телеграфным уравнением.

Для упрощения его введем новую неизвестную функцию по формуле

и постараемся подобрать постоянный множитель так, чтобы в уравнении для и пропал член, содержащий Дифференцируя и

сокращая на мы имеем

и для указанной цели достаточно выбрать р. под условием ,

т. е.

Подставив это значение , мы после простых преобразований получим для и уравнение

где

Разберем сначала тот случай, когда величиной можно пренебречь, или она в точности равна нулю, т. е.

В этом случае

и, положив

для и получаем уравнение

изученное выше. Его общее решение есть [177]:

и постоянная дает скорость распространения возмущения по кабелю. Формула (22) дает

и, наконец, из формул (20) получаем

ибо, в силу (26) и , и остальные члены сокращаются. Вместо произвольных функций и 02 удобнее ввести непосредственно функции

после чего получаем окончательное выражение для v и I в виде:

где для краткости положено Именно этими выражениями мы и будем пользоваться. Функции определяются по начальным условиям (19), которые дают нам

откуда

Задачу можно было бы считать решенной, если бы функции или, что то же самое, были заданы во всем промежутке на самом деле, однако, они известны лишь в промежутке , и для того, чтобы воспользоваться полученным решением, нужно продолжить их вне этого промежутка. Это можно сделать с помощью предельных условий, как и в случав струны, и здесь физический смысл этого продолжения есть не что иное, как отражение волны в том или ином виде от концов цепи.

Явления, которые соответствуют полученному решению (30), аналогичны разобранным выше в случае струны. Мы имеем здесь две волны, прямую и обратную, которые, дойдя до концов, отражаются от них. Существенное различие со случаем струны заключается в наличии множителя который убывает с течением времени и вызывает затухание колебаний, тем более быстрое, чем больше показатель логарифмический декремент затухания.